Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
0
22
c
)l(X)l(X
E
D
. (7.14)
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɡɚɞɚɱɟ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
O
, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ
ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
(7.12), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (7.13), (7.14), ɢ ɧɚɣɬɢ ɷɬɢ
ɪɟɲɟɧɢɹ. ɂɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɦɵ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɨɣ ɜɵɲɟ ɡɚɞɚɱɟ
ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɨ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ
ɮɭɧɤɰɢɣ.
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ (7.13),
(7.14) ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɬɢɩɨɜ I – IV (ɫɦ. §6). Ɍɨɝɞɚ, ɤɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵ-
ɲɟ,
ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
0
t
n
O
,
!,, 21
n
, ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
^ `
)x(X
n
(ɫɦ. ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɟ).
ɉɭɫɬɶ
)t(T
n
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (7.11) ɩɪɢ
n
O
O
:
0
2
c
)t(Ta)t(T
nnn
O
, !,, 21
n . (7.15)
Ɉɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (7.15) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
)tȜa(A)t(T
nnn
2
exp
, (7.16)
ɝɞɟ
n
A – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ (ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɫɱɢɬɚɟɦ ɢɯ ɨɬɥɢɱ-
ɧɵɦɢ ɨɬ ɧɭɥɹ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɧɚɫ ɢɧɬɟɪɟɫɭɸɬ ɬɨɥɶɤɨ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɟɲɟɧɢɹɦɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ
(7.5) – (7.8) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
)x(X)tȜa(A)t(T)x(X)tx,(U
nnnnnn
2
exp ,
!,, 21
n .
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɜ ɜɢɞɟ ɪɹɞɚ, ɱɥɟɧɚɦɢ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
)tx,(U
n
:
¦¦
f
f
1
2
1 n
nnn
n
n
)x(X)tȜa(A)tx,(U)tx,(u exp
. (7.17)
ȿɫɥɢ ɪɹɞ (7.17) ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɢ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɱɥɟɧɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɬɶ
ɞɜɚɠɞɵ ɩɨ
x
ɢɨɞɢɧɪɚɡɩɨt , ɬɨ ɥɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɟɝɨ ɫɭɦɦɚ
)
tx,(u
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (7.1) ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (7.3), (7.4). Ⱦɟɣɫɬ-
ɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɢɡ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ
)tx,(U
n
ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
> @
0
1
2
¦
f
n
nxxtnxxt
)tx,(U)tx,(U)tx,(ua)tx,(u
,
                                   � 2 X �( l ) � � 2 X ( l ) � 0 .                       (7.14)
    ����� �������, �� �������� � ��������� ������:
      ��������� ����� ��� �������� ��������� ��������� � , ��� �������
���������� ������������� ������� ����������������� ���������
(7.12), ��������������� ��������� �������� (7.13), (7.14), � ����� ���
�������. ����� �������, �� �������� � ������������� ���� ������
������-�������� � ���������� ����������� �������� � �����������
�������.
      � ���������� ����� ������������, ��� ��������� ������� (7.13),
(7.14) ��������� � ������ �� ����� I – IV (��. §6). �����, ��� �������� ��-
��, ���������� ������� ��������� ����������� �������� � n � 0 ,
n � 1, 2,� , � ��������������� ������������������ ����������� �������
�X n ( x )� (��. ����������).
      ����� Tn ( t ) – ������� ��������� (7.11) ��� � � � n :
                      Tn�( t ) � a 2 � n Tn ( t ) � 0 , n � 1, 2,� .                      (7.15)
    ����� ������� ��������� (7.15) ����� ���
                                   Tn ( t ) � An exp ( � a 2 � n t ) ,                    (7.16)

��� An – ������������ ���������� (� ���������� �� ������� �� �����-
���� �� ����, ��� ��� ��� ���������� ������ ������������� �������).
     ����� �������, ��������� ��������������� ��������������� ������
(7.5) – (7.8) �������� �������
               U n( x, t ) � X n ( x ) Tn ( t ) � An exp ( � a 2 � n t ) X n ( x ) ,
               n � 1, 2,� .
    ����� ������ ������� �������� ������ � ���� ����, ������� ��������
�������� ������� U n ( x, t ) :
                             �                         �
              u ( x, t ) � � U n ( x, t ) � � An exp ( � a 2 � n t ) X n ( x ) .          (7.17)
                            n �1                    n �1

    ���� ��� (7.17) �������� � ��� ����� �������� ����������������
������ �� x � ���� ��� �� t , �� ����� ������, ��� ��� ����� u ( x, t )
������������� ��������� (7.1) � ��������� �������� (7.3), (7.4). �����-
��������, �� ���������� ������� U n ( x, t ) �������, ���

          u t ( x, t ) � a 2 u xx ( x, t ) � � �U n t ( x, t ) � U nxx ( x, t ) � � 0 ,
                                              �


                                             n� 1




                                                  38

Страницы