Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

39
ɬɨ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
tx,(u ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (7.1). Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ
ɦɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (7.3), (7.4).
ȼɵɛɟɪɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
n
A ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t
x,(u ɭɞɨɜɥɟɬɜɨ-
ɪɹɥɚ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ (7.2).
Ȼɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x(
M
ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɚ ɜ ɪɹɞ
Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ:
¦
f
1n
nn
)x(X)x(
MM
, (7.18)
ɝɞɟ
xd)x(X)x(
X
n
l
n
n
³
0
2
1
MM
, !,, 21
n .
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɫɥɨɜɢɟ (7.2) ɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (7.17), (7.18), ɢɦɟɟɦ:
¦¦
f
f
11
0
n
nn
n
nn
)x(X)x()x(XA)x,(u
MM
.
Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
tx,(u ɛɭɞɟɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɨ-
ɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ (7.2), ɟɫɥɢ
nn
A
M
,
!,, 21
n
.
ɂɬɚɤ, ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.1) – (7.4) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
¦
f
1
2
n
nnn
)x(X)tȜa()tx,(u exp
M
. (7.19)
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɣ ɦɟɬɨɞ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ, ɨɫɧɨ-
ɜɚɧɧɵɣ ɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɜ ɜɢɞɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɤɚɠɞɚɹ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɜɢɫɢɬ
ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ (ɫɜɨɟɣ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ), ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ
ɦɟɬɨɞɚ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ.
2. ɋɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞ-
ɧɨɫɬɢ ɫ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ. ɍɤɚɡɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɮɨɪ-
ɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
x,(uu
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɧɟɨɞɧɨ-
ɪɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
)tx,(fuau
xxt
2
,
lx
0
, 0
!
t , (7.20)
ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
00
)
x,(u
,
lx
d
d
0
(7.21) 
�� ���� ������� u ( x, t ) �������� �������� ��������� (7.1). ����������
����� ��������, ��� ������ ������� ������������� �������� (7.3), (7.4).
     ������� ������������ An ���, ����� ������� u ( x, t ) ���������-
���� ���������� ������� (7.2).
    ����� ������������, ��� ������� � ( x ) ����� ���� ��������� � ���
����� �� ������� ����������� ������� ������ ������-��������:
                                                    �

                                �(x)�              ��
                                                   n �1
                                                              n   X n( x ) ,                           (7.18)

���
                                        l
                           1
                 � n�
                         Xn
                                2   � � ( x ) X ( x ) d x , n � 1, 2,� .
                                        0
                                                          n



      ��������� ������� (7.2) � ��������� (7.17), (7.18), �����:
                                    �                                           �

                 u ( x, 0 ) �   �n �1
                                            An X n ( x ) � � ( x ) �           ��
                                                                               n �1
                                                                                      n   X n( x ) .

    ������ �������, ��� ������� u ( x, t ) ����� ������������� ��������-
�� ������� (7.2), ����
                                            An � � n , n � 1, 2,� .
      ����, ������� ������ (7.1) – (7.4) ����� ���
                                        �

                   u ( x, t ) �     ��
                                    n �1
                                               n   exp ( � a 2 � n t ) X n ( x ) .                     (7.19)

    ������������� ����� ������� ����� �������������� ������, ����-
������ �� ������������� ������� ���������������� ��������� � �������
����������� � ���� ������������ �������, ������ �� ������� �������
������ �� ����� ���������� (����� ��� ������ �������), ����� ��������
������ ���������� ����������.
    2. ��������� ������ ��� ������������� ��������� �����������-
����� � ����������� ���������� ���������. ��������� ������ ���-
���������� ��������� �������:
    ��������� ����� ������� u � u ( x,t ) , ��������������� ������-
������� ��������� ����������������
                  ut � a 2 u xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,                                     (7.20)
���������� �������
                                u ( x, 0 ) � 0 , 0 � x � l                                             (7.21)

                                                        39

Страницы