Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t , (7.22)
0
22
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t . (7.23)
Ɂɞɟɫɶ
)
tx,(
f
– ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
2
a ,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɬɟɦ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɱɬɨ ɢ ɜ ɡɚɞɚɱɟ (7.1) – (7.4).
ȼ ɫɢɥɭ ɩɪɢɧɰɢɩɚ Ⱦɸɚɦɟɥɹ (ɫɦ. §5) ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.20) – (7.23)
ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
³
t
d)IJIJ;tx,(v)tx,(u
0
W
, (7.24)
ɝɞɟ
)
IJt;x,(
v
v
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
xxt
vav
2
, lx
0 , 0
!
, (7.25)
)
IJ
x,(
f
)
IJ
;x,(v
0 , l
x
d
d
0 , (7.26)
000
11
);t,(v);t,(v
x
W
E
W
D
, 0
!
t , (7.27)
0
22
)t;l,(v)t;l,(v
x
W
E
W
D
, 0
!
t
. (7.28)
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ
0
!
W
ɮɭɧɤɰɢɹ
)
,x(
f
W
ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɚ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ:
¦
f
1n
nn
)x(X)IJ(f)x,(f
W
,
ɝɞɟ
xd)x(X)x,(f
X
)IJ(f
n
l
n
n
³
0
2
1
W
, !,, 21
n .
Ɍɨɝɞɚ, ɤɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɡɚɞɚɱɚ (7.25) – (7.28) ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ
¦
f
1
2
n
nnn
)x(X)tȜa()IJ(f);tx,(v exp
W
. (7.29)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (7.29) ɜ (7.24) ɢ ɢɡɦɟɧɹɹ ɦɟɫɬɚɦɢ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢ ɢɧɬɟɝ-
ɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
¦
f
1n
nn
)x(X)t(T)tx,(u ,
ɝɞɟ
� ��������� ��������
                            � 1 u x ( 0 ,t ) � � 1 u ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,           (7.22)
                            � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � 0 , t � 0 .            (7.23)
     ����� f ( x, t ) – �������� �������, � ������������ a 2 , � 1 , � 1 , � 2 ,
� 2 ������������� ��� �� ��������, ��� � � ������ (7.1) – (7.4).
     � ���� �������� ������� (��. §5) ������� ������ (7.20) – (7.23)
����� �������� � ����
                                                    t

                              u ( x, t ) �
                                                � v ( x, t � �; � ) d� ,
                                                    0
                                                                                       (7.24)

��� v � v ( x, t; � ) – ������� ������
                              v t � a 2 v xx , 0 � x � l , t � 0 ,                     (7.25)
                              v ( x, 0 ; � ) � f ( x, � ) , 0 � x � l ,                (7.26)
                            �1 v x( 0, t ; � ) � �1 v ( 0, t ; � ) � 0 , t � 0 ,       (7.27)
                            � 2 v x ( l, t; � ) � � 2 v ( l, t; � ) � 0 , t � 0 .      (7.28)
      � ���������� ����� ������������, ��� ��� ������ �������������
� � 0 ������� f ( x , � ) ����� ���� ��������� � ��� ����� �� �������
����������� ������� ������ ������-��������:
                                                         �

                                    f ( x,� ) �         � f ( � ) X ( x ),
                                                        n �1
                                                                   n           n



���
                                           l
                                1
               fn ( � ) �
                              Xn
                                     2    � f ( x,� ) X ( x ) d x , n � 1, 2,� .
                                           0
                                                               n



      �����, ��� �������� ����, ������ (7.25) – (7.28) ����� �������
                                          �

                v ( x, t ;� ) �      � f ( � ) exp ( � a � t ) X ( x ) .
                                         n �1
                                                n
                                                                       2
                                                                           n       n   (7.29)

    ���������� (7.29) � (7.24) � ������� ������� ������������ � �����-
���������, �������, ���
                                                         �

                                    u ( x, t ) �        �T ( t )X ( x ),
                                                        n �1
                                                                   n       n



���

                                                        40

Страницы