Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

42
)
x
(
)
x,(u
M
0 , l
x
d
d
0 , (7.35)
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
)t()t,(u)t,(u
x 111
00
J
E
D
, 0
!
t , (7.36)
)t()tl,(u)tl,(u
x 222
J
E
D
, 0
!
t . (7.37)
Ɂɞɟɫɶ
)
tx,(
,
)
x
(
M
, )t(
1
J
)t(
2
J
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢ-
ɟɧɬɵ
2
a ,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɬɟɦ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɱɬɨ ɢ ɜ ɡɚɞɚɱɟ
(7.1) – (7.4).
ɋɜɟɞɟɦ ɡɚɞɚɱɭ (7.34) – (7.37) ɤ ɡɚɞɚɱɟ ɫ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫ-
ɥɨɜɢɹɦɢ.
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.34) – (7.37) ɜ ɜɢɞɟ
)
tx,(w
)
tx,(v
)
tx,(u
,
ɝɞɟ
)
t
x,(
v
– ɧɨɜɚɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ
)
t
x,(w – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤ-
ɰɢɹ, ɞɜɚɠɞɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɩɨ
x
ɢɨɞɢɧɪɚɡɩɨt ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɚɹ
ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
)t()t,(w)t,(w
x 111
00
J
E
D
, 0
!
t , (7.38)
)t()tl,(w)tl,(w
x 222
J
E
D
,
0
!
t
. (7.39)
ȿɫɥɢ
0
2
2
2
1
!
E
E
, ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
x,(w
ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)
t(d
x
)
t(c
)
tx,(w
. (7.40)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (7.40) ɜ (7.38), (7.39), ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɞɜɭɯ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥ-
ɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɜɭɯ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
)
t(c ɢ
)
t
(d , ɪɟɲɢɜ ɤɨɬɨɪɭɸ, ɧɚɣɞɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
x,(w .
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ
1
21
D
D
, 0
21
E
E
. Ɍɨɝɞɚ, ɟɫɥɢ
)t()t()t(
J
J
J
21
, ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
tx,(w ɦɨɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛ-
ɪɚɡɨɦ:
x
)
t
(
)
tx,(w
J
.
ȿɫɥɢ ɠɟ
)t()t(
21
J
J
z
, ɬɨ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɢɫɤɚɬɶ
)
tx,(w ɜ ɜɢɞɟ
x)t(dx)t(c)tx,(w
2
.
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t
x,(w
ɢɡɜɟɫɬɧɚ.
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɮɭɧɤɰɢɸ
wvu
ɜ (7.34) – (7.37) ɢ ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
(7.38), (7.39), ɩɨɥɭɱɢɦ ɡɚɞɚɱɭ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɨɜɨɣ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
tx,(v :
)tx,(fvav
xxt
~
2
, lx
0 , 0
!
t , (7.41) 
                         u ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,                        (7.35)
� ��������� ��������
                      � 1ux ( 0 , t ) � � 1 u( 0 , t ) � � 1 ( t ) , t � 0 ,       (7.36)
                      � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � � 2 ( t ) , t � 0 .      (7.37)
     ����� f ( x, t ) , � ( x ) , � 1 ( t ) � 2 ( t ) – �������� �������, � ��������-
���� a 2 , � 1 , � 1 , � 2 , � 2 ������������� ��� �� ��������, ��� � � ������
(7.1) – (7.4).
     ������ ������ (7.34) – (7.37) � ������ � ����������� ���������� ��-
�������.
     ����� ������ ������� ������ (7.34) – (7.37) � ����
                            u ( x, t ) � v ( x, t ) � w ( x, t ) ,
��� v ( x, t ) – ����� ����������� �������, � w ( x, t ) – ������������ ����-
���, ������ ���������������� �� x � ���� ��� �� t � ���������������
��������� ��������
                         �1w x( 0, t ) � �1 w ( 0, t ) � � 1 ( t ) , t � 0 ,       (7.38)
                         � 2 w x ( l, t ) � � 2 w ( l, t ) � � 2 ( t ) , t � 0 .   (7.39)
     ���� � 12 � � 22 � 0 , �� ������� w ( x, t ) ������������� ������ � ����
                                      w( x, t ) � c ( t ) x � d ( t ) .            (7.40)
       ���������� (7.40) � (7.38), (7.39), ������� ������� ���� �������� ��-
������������ ��������� ������������ ���� ����������� ������� c ( t ) �
d ( t ) , ����� �������, ������ ������� w( x, t ) .
       ���������� ������ � 1 � � 2 � 1 ,                    � 1 � � 2 � 0 . �����, ����
� 1( t ) � � 2 ( t ) � � ( t ) , �� ������� w ( x, t ) ����� ������ ��������� ��-
�����:
                                         w ( x, t ) � � ( t ) x .
     ���� �� � 1( t ) � � 2 ( t ) , �� ������������� ������ w ( x, t ) � ����
                                w( x, t ) � c ( t ) x 2 � d ( t ) x .
     � ���������� ����� ������������, ��� ������� w ( x, t ) ��������.
     ���������� ������� u � v � w � (7.34) – (7.37) � �������� ���������
(7.38), (7.39), ������� ������ ������������ ����� ����������� �������
v ( x, t ) :
                                              ~
                             v t � a 2 v xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,     (7.41)

                                               42

Страницы