Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

43
)
x
(
)
x,(v
M
~
0 , l
x
d
d
0 , (7.42)
000
11
)t,(v)t,(v
x
E
D
, 0
!
t , (7.43)
0
22
)tl,(v)tl,(v
x
E
D
, 0
!
, (7.44)
ɝɞɟ
)tx,(w)tx,(wa)tx,(f)tx,(f
txx
2
~
,
)
x,(w
)
x
(
)
x
( 0
M
M
~
.
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɜɢɞɚ (7.41) – (7.44) ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɨɫɶ ɜ §7, ɩ. 2.
ɉɪɢɦɟɪ 1.
Ɋɟɲɢɬɶ ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ
2
3
2
2
x
txuau
xxt
S
coscos
, 10
x
, 0
!
t , (7.45)
2
2
30
x
)x,(u
S
cos , (7.46)
t)t,(u
x
sin
0 , 21
ttu sin),( . (7.47)
Ɋɟɲɟɧɢɟ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.45) – (7.47) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)
x,(w
)
x,(
v
)
x,(u
,
ɝɞɟ
)
tx,(v – ɧɨɜɚɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
tx,(w ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹ-
ɟɬ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
t)t,(w
x
sin
0 , 21
)
,(w sin . (7.48)
Ɏɭɧɤɰɢɸ
)
tx,(w ɛɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)
(dx
)
(c
)
x,(w
.
ɂɡ (7.48) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
t
)
t(c sin
, 2
)
t(d , ɢ, ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
2
t
x
)
tx,(w sin .
Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɧɨɜɚɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x,(
v
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟ-
ɲɟɧɢɟɦ ɡɚɞɚɱɢ
)tx,(fvav
xxt
~
2
,
10
x
, 0
!
t , (7.49)
)
x
(
)
x,(v
M
~
0 , (7.50)
00
)t,(v
x
, 01
)
t,(v , (7.51)
ɝɞɟ
                           v ( x, 0 ) � �~ ( x ) , 0 � x � l ,                         (7.42)
                         � 1v x ( 0 , t ) � � 1 v ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,              (7.43)
                         � 2 v x ( l, t ) � � 2 v ( l, t ) � 0 , t � 0 ,               (7.44)
���
                   ~
                   f ( x, t ) � f ( x, t ) � a 2 w xx ( x, t ) � w t ( x, t ) ,
                              �~ ( x ) � � ( x ) � w ( x, 0 ) .
      ������� ������ ���� (7.41) – (7.44) ��������������� � §7, �. 2.
      ������ 1. ������ ��������� ������
                                                         3� x
                    ut � a 2 u xx � x cos t � 2 cos             , 0 � x � 1, t � 0 ,   (7.45)
                                                           2
                                                                �x
                                            u ( x, 0 ) � 3 cos       � 2,              (7.46)
                                                                  2
                               u x ( 0 ,t ) � sin t , u(1, t ) � sin t � 2 .           (7.47)

                                             �������

      ������� ������ (7.45) – (7.47) ����� �������� � ����
                                u ( x, t ) � v ( x, t ) � w ( x, t ) ,
��� v ( x, t ) – ����� ����������� �������, � ������� w ( x, t ) �����������-
�� ��������� ��������
                          w x ( 0 , t ) � sin t , w ( 1, t ) � sin t � 2 .             (7.48)
      ������� w ( x, t ) ����� ������ � ����
                                  w ( x, t ) � c ( t ) x � d ( t ) .
      �� (7.48) �������, ��� c ( t ) � sin t , d ( t ) � 2 , �, ����� �������,
                                     w ( x, t ) � x sin t � 2 .
    ��� �������� ����, ����� ����������� ������� v ( x, t ) �������� ��-
������ ������
                                              ~
                             v t � a 2 v xx � f ( x, t ) , 0 � x � 1 , t � 0 ,         (7.49)
                             v ( x, 0 ) � �~ ( x ) ,                                   (7.50)
                             v x ( 0 , t ) � 0 , v ( 1, t ) � 0 ,                      (7.51)
���

                                              43

Страницы