Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

45
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)x(X
x
)tx,(f
2
2
2
3
2
S
cos
~
,
ɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)tx,(f
~
ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɪɚɜɧɵ
2
2
f
~
, 0
n
f
~
ɞɥɹ 2
z
n .
Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɢɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ §7, ɩ. 2 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
2
3
2222
x
)t(T)x(X)t(T)tx,(v
S
cos
,
ɝɞɟ
> @
³
t
df)tIJ(a)t(T
0
22
2
2
WO
~
exp
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
4
9
1
9
8
22
22
ta
a
S
S
exp
.
ɂɬɚɤ,
2
3
4
9
1
9
8
22
22
2
xta
a
)tx,(v
SS
S
cosexp
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
,
ɢ
)tx,(w)tx,(v)tx,(v),tx(u
21
¸
¹
·
¨
©
§
24
3
22
xta
SS
cosexp
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
2
3
4
9
1
9
8
22
22
xta
a
SS
S
cosexp
2
t
x
sin .
ɉɪɢɦɟɪ 2.
Ɋɟɲɢɬɶ ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ
2
2
xuau
xxt
S
cos , 10
x
, 0
!
t , (7.58)
1240
x
)
x,(u
S
cos
, (7.59)
00
)t,(u
x
,
01
)t,(u
x
. (7.60)
Ɋɟɲɟɧɢɟ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.58) – (7.60) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ (ɫɦ. §7, ɩ. 2)
)tx,(u)tx,(u)tx,(u
21
ɝɞɟ
1
u – ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
xxt
uau
1
2
1
, 10
x
, 0
!
t
, (7.61) 
      ��� ���
                     ~                 3� x
                     f ( x,t ) � 2 cos      � 2X2( x ),
                                        2
                                   ~
�� ������������ ����� ������� f ( x,t ) �� ������� ����������� ����-
��� ������ ������-�������� �����
                                    ~         ~
                                    f 2 � 2 , f n � 0 ��� n � 2 .
      ������ � �� ����������� §7, �. 2 �������, ���
                                                                                3� x
                             v 2 ( x,t ) � T2( t ) X 2( x ) � T2 ( t ) cos           ,
                                                                                 2
���
                    t
                                                 ~             8        �       � 9a 2� 2 t � �
                        exp �a 2 � 2 ( � � t ) � f 2 d� �
       T2 ( t ) �
                    �
                    0
                                                             9a 2� 2
                                                                        �
                                                                        �
                                                                         1 � exp��
                                                                                �    4 ��
                                                                                            �� .

      ����,
                                          8 �         � 9a 2� 2 t � �     3� x
                        v 2 ( x,t ) �     2 2 �
                                               1 � exp� �         � � cos      ,
                                        9a � �        �    4 ��            2
�
                           u ( x ,t ) � v1( x, t ) � v 2 ( x, t ) � w ( x, t ) �
              � a 2� 2 t �     �x     8                   �       � 9a 2� 2 t � �     3� x
      � 3 exp � �        � cos    �                       �1 � exp��          � � cos      �
              �    4 �          2   9a 2� 2               �       �    4 ��            2
� x sin t � 2 .
      ������ 2. ������ ��������� ������
                        ut � a 2 u xx � cos � x � 2 , 0 � x � 1 , t � 0 ,                     (7.58)
                                 u ( x, 0 ) � 4 cos 2� x � 1 ,                                (7.59)
                                 u x ( 0 ,t ) � 0 , u x ( 1,t ) � 0 .                         (7.60)

                                                    �������

      ������� ������ (7.58) – (7.60) ����� �������� � ���� (��. §7, �. 2)
                                        u ( x, t ) � u1( x, t ) � u2 ( x, t )
��� u1 – ������� ������
                              u1 t � a 2 u1 xx , 0 � x � 1 , t � 0 ,                          (7.61)

                                                     45

Страницы