Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

47
ɝɞɟ
> @
tdfdf)tIJ(a)t(T
tt
2
0
00
0
0
2
0
³³
WWO
exp
,
> @
³
WO
df)tIJ(a)t(T
t
1
0
1
2
1
exp
>
@
)tʌa(
a
22
22
1
1
exp
S
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
t)tx,(u 2
2
>
@
x)tʌa(
a
S
S
cosexp
22
22
1
1
ɢ
t
t
xu 21),(
x)tʌa(
S
244
22
cosexp
+
> @
x)tʌa(
a
S
S
cosexp
22
22
1
1
.
§8. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ ɦɟɬɨɞɨɦ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
1. ɋɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭ-
ɧɵ ɫ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ. Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɚɹ ɡɚɞɚɱɚ
ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
x,(uu
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɨɞɧɨɪɨɞ-
ɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ
xxtt
uau
2
,
lx
0
, 0
!
t , (8.1)
ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
)
x(
)
x,(u
M
0
,
lx
d
d
0
, (8.2)
)x(xu
t
),( 0
, l
x
d
d
0 (8.3)
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t , (8.4)
0
22
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t . (8.5)
Ɂɞɟɫɶ
0
!
a , 0
!
l ,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɩɪɢɱɟɦ
0
2
1
2
1
!
E
D
, 0
2
2
2
2
!
E
D
;
)
x(
M
,
)
x
(
\
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
���
                             t                                         t

               T 0 ( t ) � exp�a �0 ( � � t ) � f 0 d� �
                             �                                         � f d� � 2t ,
                                         2
                                                                               0
                             0                                         0
                     t
                                                                  1
          T 1 ( t ) � exp�a 2 � 1 ( � � t ) � f 1 d� �                     �1 � exp ( � a       � 2 t )� .
                    �
                                                                                            2


                     0
                                                                 a �
                                                                  2    2



      ����� �������,


                                              1
                   u2 ( x, t ) � 2t �               �1 � exp ( � a � t )� cos � x
                                                                           2   2

                                             a �2
                                              2


�
                  u( x, t ) � 1 � 2t � 4 exp ( � 4 a 2 � 2 t ) cos 2� x +
                                 1
                         �            �1 � exp ( � a � t )� cos � x .
                                                         2   2

                             a �22




          §8. ������� ��������� ����� ��� ���������
       ��������� ������ ������� ���������� ����������

    1. ��������� ������ ��� ����������� ��������� ��������� ����-
�� � ����������� ���������� ���������. ��������������� ������
������������� ��������� �������:
    ��������� ����� ������� u � u ( x,t ) , ��������������� �������-
���� ��������� ��������� ������
                                 utt � a 2 u xx , 0 � x � l , t � 0 ,                                   (8.1)
��������� ��������
                                 u ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,                                     (8.2)
                                 ut ( x , 0) � � ( x ) , 0 � x � l                                      (8.3)
� ��������� ��������
                                 � 1 u x ( 0 ,t ) � � 1 u ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,                       (8.4)
                            � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � 0 , t � 0 .                             (8.5)
����� a � 0 , l � 0 , � 1 , � 1 , � 2 , � 2 – �������� ����������, ������
� 12 � � 12 � 0 , � 22 � � 22 � 0 ; � ( x ) , � ( x ) – �������� �������.

                                                    47

Страницы