Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

49
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ
0
2
2
2
1
!
E
E
. Ɍɨɝɞɚ ɜɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
0
!
n
O
,
!,, 21
n
, ɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (8.14) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
taBtaA)t(T
nnnnn
OO
sincos
, (8.15)
ɝɞɟ
n
A ,
n
B – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ (ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɨɩɭɫɤɚɬɶ
ɫɤɨɛɤɢ ɩɪɢ ɡɚɩɢɫɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɮɭɧɤɰɢɣ
ta
n
O
cos ɢ ta
n
O
sin ).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɟɲɟɧɢɹɦɢ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɜɵɲɟ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶ-
ɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
)x(X)t(T)tx,(U
nnn
,
!,, 21
n
.
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.1) – (8.5) ɜ ɜɢɞɟ ɪɹɞɚ
¦¦
f
f
11 n
nn
n
n
)x(X)t(T)tx,(U)tx,(u .
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x
(
ɢ
)
x
(
\
ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɵ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚ-
ɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ:
¦
f
1n
nn
)x(X)x(
MM
,
¦
f
1n
nn
)x(X)x(
\
\
,
ɝɞɟ
xd)x(X)x(
X
n
l
n
n
³
0
2
1
MM
,
xd)x(X)x(
X
n
l
n
n
³
0
2
1
\
\
,
!,, 21
n .
Ɍɨɝɞɚ, ɩɨɬɪɟɛɨɜɚɜ, ɱɬɨɛɵ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t
x,(u ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɥɚ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ
ɭɫɥɨɜɢɹɦ (8.2), (8.3), ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
¦¦
f
f
11
00
n
nn
n
nn
)x(X)x()x(X)(T)x,(u
MM
,
¦¦
f
f
c
11
00
n
nn
n
nnt
)x(X)x()x(X)(T)x,(u
\\
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɡɚɞɚɱɭ Ʉɨɲɢ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟ-
ɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɣ
)t(T
n
:
0
2
c
c
)t(Ta)t(T
nnn
O
, (8.16) 
     �����������, ��� � 12 � � 22 � 0 . ����� ��� ����������� ��������
� n � 0 , n � 1, 2,� , � ����� ������� ��������� (8.14) ����� ���
                                                  �           �
                   Tn ( t ) � An cos a � n t � Bn sin a � n t ,                  �                    �                     (8.15)
��� An , Bn – ������������ ���������� (� ���������� �� ����� ��������
������ ��� ������ ��������� ������� cos a � n t � sin a � n t ).
     ����� �������, ��������� ���������������� ���� ������������-
��� ������ �������� �������
                              U n ( x,t ) � Tn ( t ) X n ( x ) , n � 1, 2,� .
      ����� ������ ������� ������ (8.1) – (8.5) � ���� ����
                                              �                         �

                           u ( x, t ) �     �n� 1
                                                      U n ( x, t ) �   �T ( t )X
                                                                       n� 1
                                                                                  n                 n     ( x ).

    � ���������� �� ����� ������������, ��� ������� � ( x ) � � ( x )
����� ���� ��������� � ��� ����� �� ������� ����������� ������� ����-
�� ������-��������:
                                  �                                              �

               �(x)�            �n �1
                                          � n X n( x ) , � ( x ) �            ��n �1
                                                                                           n   X n( x ) ,

���
                       l                                                               l
               1                                                            1
       � n�
              Xn
                   2   �
                       0
                           � ( x ) X n( x ) d x , � n �
                                                                       Xn
                                                                                 2     �� ( x )X ( x ) d x ,
                                                                                       0
                                                                                                                n



                                                                                 n � 1, 2,� .
    �����, ����������, ����� ������� u ( x, t ) ������������� ���������
�������� (8.2), (8.3), ������� ���������
                                   �                                                           �

               u ( x, 0 ) �      �n� 1
                                           Tn ( 0 ) X n ( x ) � � ( x ) �                  ��
                                                                                           n �1
                                                                                                           n   X n( x ) ,

                                      �                                                         �

              u t ( x, 0 ) �      �
                                  n� 1
                                           Tn� ( 0 ) X n ( x ) � � ( x ) �                 ��  n �1
                                                                                                           n   X n( x ) .

    ����� �������, �� �������� ��������� ������ ���� ��� ��������-
��� ������� Tn ( t ) :
                                           Tn�� ( t ) � a 2 � n Tn ( t ) � 0 ,                                              (8.16)

                                                           49

Страницы