Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ (8.1) – (8.5) ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɜɫɩɨɦɨɝɚ-
ɬɟɥɶɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ:
ɇɚɣɬɢ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
xxtt
UaU
2
, l
x
0 , 0
!
t , (8.6)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
)t,(U)t,(U
x
E
D
, 0
!
t , (8.7)
0
22
)tl,(U)tl,(U
x
E
D
,
0
!
t
(8.8)
ɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɵɟ ɜ ɜɢɞɟ
)
t
(
T
)
x(
X
)
t
x,U(
(8.9)
ɝɞɟ
)
x
(
X
– ɮɭɧɤɰɢɹ, ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɳɚɹ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ t ,
)
t(
T
– ɮɭɧɤɰɢɹ, ɧɟ
ɡɚɜɢɫɹɳɚɹ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ x .
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8.9) ɜ (8.6), ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɜ §7, ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶ-
ɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɮɭɧɤɰɢɣ
)
t(
T
ɢ
)
x
(
X
:
0
2
c
c
)t(Ta)t(T
O
, (8.10)
0
c
c
)
x(
X
)
x(
X
O
. (8.11)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8.9) ɜ (8.7) ɢɜ (8.8), ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x(
X
ɞɨɥɠɧɚ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
c
)(X)(X
E
D
, (8.12)
0
22
c
)l(X)l(X
E
D
. (8.13)
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɡɚɞɚɱɟ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
O
, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ
ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
(8.11), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (8.12), (8.13), ɢ ɧɚɣɬɢ ɷɬɢ
ɪɟɲɟɧɢɹ. ɂɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɦɵ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɨɣ ɜɵɲɟ ɡɚɞɚɱɟ
ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɨ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ
ɮɭɧɤɰɢɣ.
Ɍɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɜ §7, ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ (8.12),
(8.13) ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɬɢɩɨɜ I – IV (ɫɦ. §6). Ɍɨɝɞɚ, ɤɚɤ
ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɫɭ-
ɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
0
t
n
O
, !,, 21
n , ɢ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
^ `
)x(X
n
(ɫɦ.
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɟ).
ɉɭɫɬɶ
)t(T
n
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (7.11) ɩɪɢ
n
O
O
:
0
2
cc
)t(Ta)t(T
nnn
O
, !,, 21
n . (8.14) 
     ��� ������� ������ (8.1) – (8.5) ���������� ��������� ��������-
������� ������:
    ����� ������������� ������� ���������
                      U t t � a 2U xx , 0 � x � l , t � 0 ,                  (8.6)
��������������� ��������� ��������
                      � 1U x ( 0 ,t ) � � 1 U ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,        (8.7)
                      � 2U x ( l, t ) � � 2 U ( l, t ) � 0 , t � 0           (8.8)
� ������������ � ����
                                 U( x, t ) � X ( x ) T ( t )                 (8.9)
��� X ( x ) – �������, �� ��������� �� ���������� t , T ( t ) – �������, ��
��������� �� ���������� x .
    ���������� (8.9) � (8.6), ��� ��, ��� � � §7, ������� �������������-
��� ��������� ������������ ������� T ( t ) � X ( x ) :
                              T ��( t ) � a 2 � T ( t ) � 0 ,               (8.10)
                               X ��( x ) � � X ( x ) � 0 .                  (8.11)
    ���������� (8.9) � (8.7) � � (8.8), �������, ��� ������� X ( x ) ������
������������� ��������� ��������
                            � 1 X �( 0 ) � � 1 X ( 0 ) � 0 ,                (8.12)
                            � 2 X �( l ) � � 2 X ( l ) � 0 .                (8.13)
    ����� �������, �� �������� � ��������� ������:
     ��������� ����� ��� �������� ��������� ��������� � , ��� �������
���������� ������������� ������� ����������������� ���������
(8.11), ��������������� ��������� �������� (8.12), (8.13), � ����� ���
�������. ����� �������, �� �������� � ������������� ���� ������
������-�������� � ���������� ����������� �������� � �����������
�������.
     ��� ��, ��� � � §7, ����� ������������, ��� ��������� ������� (8.12),
(8.13) ��������� � ������ �� ����� I – IV (��. §6). �����, ��� ��������, ��-
�������� ������� ��������� ����������� �������� � n � 0 , n � 1, 2,� , �
��������������� ������������������ ����������� ������� �X n ( x )� (��.
����������).
     ����� Tn ( t ) – ������� ��������� (7.11) ��� � � � n :
                         Tn�� ( t ) � a 2 � n Tn ( t ) � 0 , n � 1, 2,� .   (8.14)


                                          48

Страницы