Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

46
)x()x,(u
M
0
1
, (7.62)
00
1
)t,(u
x
, 0
1
)tl,(u
x
, (7.63)
124
x
)
x
(
S
M
cos ,
ɚ
2
u – ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
)tx,(fuau
xxt
2
2
2
, 10
x
, 0
!
t , (7.64)
00
2
)x,(u , (7.65)
00
2
)t,(u
x
, 0
2
)tl,(u
x
, (7.66)
2
x
)
t
x,(
f
S
cos
.
ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬ-
ɜɭɸɳɟɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ
2
)ʌn(
n
O
, xn)x(X
n
cos
, !,,, 210
n .
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)x(X)x(Xx)x(
20
41124
M
cos
,
ɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɪɚɜɧɵ
1
0
M
,
4
2
M
,
0
n
M
ɞɥɹ 20,
z
n .
Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɢɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ §7, ɩ. 1 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
¦
f
0
2
1
n
nnn
)x(X)tȜa()tx,(u exp
M
x)tʌa(
S
2441
22
cosexp
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɞɚɱɭ (7.64) – (7.66).
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)x(X)x(Xx)tx,(f
10
22
cos
,
ɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
t
x,(
f
ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɪɚɜɧɵ
2
0
f , 1
1
f , 0
n
f ɞɥɹ 2
t
n .
Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɢɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ §7, ɩ. 2 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
)x(X)t(T)t(T)x(X)t(T)tx,(u
n
nn
110
0
2
¦
f
,
                              u 1 ( x, 0 ) � � ( x ) ,                               (7.62)
                      u1 x ( 0 ,t ) � 0 , u1 x ( l, t ) � 0 ,                        (7.63)
                                    � ( x ) � 4 cos 2� x � 1 ,
� u2 – ������� ������
                     u 2 t � a 2 u2 xx � f ( x, t ) , 0 � x � 1 , t � 0 ,            (7.64)
                                      u 2 ( x, 0 ) � 0 ,                             (7.65)
                              u2 x ( 0 ,t ) � 0 , u2 x ( l, t ) � 0 ,                (7.66)
                                  f ( x, t ) � cos � x � 2 .
    ������������ ���������� � ������������ ��������� ���������-
������ ������ ������-�������� ��������
                �n � ( n� )2 , X n ( x ) � cos n� x , n � 0, 1, 2, � .
    ��� ���
                 � ( x ) � 4 cos 2� x � 1 � 1 � X 0 ( x ) � 4 X 2 ( x ) ,
�� ������������ ����� ������ ������� �� ������� ����������� ����-
��� ������ ������-�������� �����
                    � 0 � 1 , � 2 � 4 , � n � 0 ��� n � 0, 2 .
    ������ � �� ����������� §7, �. 1 �������, ���
                                     �

                 u 1 ( x, t ) �     ��
                                    n� 0
                                           n   exp ( � a 2 � n t ) X n ( x ) �

                      � 1 � 4 exp ( � 4 a 2 � 2 t ) cos 2� x .
    ���������� ������ (7.64) – (7.66).
    ��� ���
                   f ( x, t ) � cos � x � 2 � 2 X 0 ( x ) � X 1 ( x ) ,
�� ������������ ����� ������� f ( x, t ) �� ������� ����������� ����-
��� ������ ������-�������� �����
                      f 0 � 2 , f 1 � 1 , f n � 0 ��� n � 2 .
    ������ � �� ����������� §7, �. 2 �������, ���
                              �

              u2( x, t ) �   � T ( t ) X ( x ) � T ( t ) � T ( t ) X ( x ),
                             n� 0
                                      n          n           0          1        1




                                                46

Страницы