Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

44
2
3
2
2
x
)tx,(w)tx,(wa)tx,(f)tx,(f
txx
S
cos
~
,
2
30
x
)x,(w)x()x(
S
MM
cos
~
.
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.49) – (7.51) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)tx,(v)tx,(v)tx,(v
21
,
ɝɞɟ
1
v – ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
xxt
vav
1
2
1
, (7.52)
2
30
1
x
)x,(v
S
cos
, (7.53)
00
1
)t,(v
x
, 01
1
)t,(v , (7.54)
ɚ
2
v – ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
2
3
2
2
2
2
x
vav
xxt
S
cos
, (7.55)
00
2
)x,(v , (7.56)
00
2
)t,(v
x
, 01
2
)t,(v . (7.57)
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɞɚɱɭ (7.52) – (7.54). Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚ-
ɱɟɧɢɹɦɢ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-
Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ
4
12
22
S
O
)n(
n
,
2
12
x)n(
)x(X
n
S
cos , !,, 21
n .
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)x(X
x
)x(
1
3
2
3
S
M
cos
~
,
ɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɪɚɜɧɵ
3
1
M
~
, 0
n
M
~
ɞɥɹ !,, 32
n .
Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɢɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ §7, ɩ. 1 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
24
3
22
1
xta
)tx,(v
SS
cosexp
¸
¹
·
¨
©
§
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɡɚɞɚɱɭ (7.55) – (7.57).
          ~                                                                  3� x
          f ( x, t ) � f ( x, t ) � a 2 w xx ( x, t ) � w t ( x, t ) � 2 cos      ,
                                                                              2
                                                                    �x
                      �~ ( x ) � � ( x ) � w ( x, 0 ) � 3 cos           .
                                                                     2
    ������� ������ (7.49) – (7.51) ����� �������� � ����
                              v ( x, t ) � v1 ( x, t ) � v 2 ( x, t ) ,
��� v1 – ������� ������
                                         v1 t � a 2 v1 xx ,                           (7.52)
                                                          �x
                                  v 1 ( x, 0 ) � 3 cos           ,                    (7.53)
                                                             2
                               v 1 x ( 0 , t ) � 0 , v1 ( 1 , t ) � 0 ,               (7.54)
� v 2 – ������� ������
                                                              3� x
                               v 2 t � a 2 v 2 xx � 2 cos          ,                  (7.55)
                                                               2
                                       v 2 ( x, 0 ) � 0 ,                             (7.56)
                               v 2 x ( 0 , t ) � 0 , v 2 ( 1, t ) � 0 .               (7.57)
    ���������� ������ (7.52) – (7.54). ��������, ��� ������������ ���-
������� � ������������ ��������� ��������������� ������ ������-
�������� ��������
               ( 2n � 1 )2� 2                   ( 2n � 1 )� x
        �n �                  , X n ( x ) � cos               , n � 1, 2,� .
                     4                                2
    ��� ���
                                                  �x
                             �~ ( x ) � 3 cos           � 3X1( x ),
                                                   2
�� ������������ ����� ������ ������� �� ������� ����������� ����-
��� ������ ������-�������� �����
                        �~1 � 3 , �~n � 0 ��� n � 2, 3, � .
    ������ � �� ����������� §7, �. 1 �������, ���
                                             � a 2� 2 t �     �x
                          v1 ( x,t ) � 3 exp � �        � cos    .
                                             �    4 �          2
    ���������� ������ ������ (7.55) – (7.57).
                                             44

Страницы