Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

50
nn
)(T
M
0 ,
nn
)(T
\
c
0 ,
!,, 21
n
. (8.17)
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ (8.15) ɞɥɹ ɨɛɳɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (8.14),
ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɡɚɞɚɱɢ (8.16), (8.17) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
ta
a
ta)t(T
n
n
n
nnn
O
O
\
OM
sincos
. (8.18)
ɂɬɚɤ, ɜ ɫɥɭɱɚɟ
0
2
2
2
1
!
E
E
ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.1) – (8.5) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
¦
f
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1n
nn
n
n
nn
)x(Xta
a
ta)tx,(u
O
O
\
OM
sincos . (8.19)
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɬɟɩɟɪɶ, ɱɬɨ
1
21
, 0
21
E
E
. ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ
ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ
2
¸
¹
·
¨
©
§
l
n
n
S
O
,
l
xn
xX
n
S
cos)(
, !210 ,,
n ;
ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɧɨɪɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɪɚɜɧɵ
lX
2
0
,
2
2
lX
n
, !,, 21
n .
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.1) – (8.5) ɜ ɜɢɞɟ
¦
f
0n
nn
)x(X)t(T)tx,(u .
Ɇɵ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x
(
M
ɢ
)
x
(
\
ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡ-
ɥɨɠɟɧɵ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
^
`
)x(X
n
:
¦
f
0n
nn
)x(X)x(
MM
,
¦
f
0n
nn
)x(X)x(
\
\
,
ɝɞɟ
³³
ll
xd)x(
l
xd)x(X)x(
X
0
0
0
2
0
0
11
MMM
,
³³
l
n
l
n
n
l
xn
)x(
l
xd)x(X)x(
X
00
2
21
S
MMM
cos ,
!,, 21
n
,
³
l
xd)x(
l
0
0
1
\
\
,
³
l
n
l
xn
)x(
l
0
2
S
\
\
cos , !,, 21
n . 
                                   Tn ( 0 ) � � n , Tn�( 0 ) � � n , n � 1, 2,� .                              (8.17)
    ��������� ��������� (8.15) ��� ������ ������� ��������� (8.14),
�������, ��� �������� ������ (8.16), (8.17) �������� �������
                                                                                     �n
                                 Tn ( t ) � � n cos a � n t �                            sin a � n t .         (8.18)
                                                                                    a �n
      ����, � ������ � 12 � � 22 � 0 ������� ������ (8.1) – (8.5) ����� ���
                                  �
                                        �                                        �n              �
              u ( x, t ) �       � ����
                                 n� 1
                                                 n   cos a �n t �
                                                                                a �n
                                                                                     sin a �n t �� X n ( x ) . (8.19)
                                                                                                 �
    ����������� ������, ��� � 1 � � 2 � 1 , � 1 � � 2 � 0 . ������������
���������� � ������������ ��������� � ���� ������ ��������
                                                 2
                                 � n� �                   n� x
                        �n � �        � , X n ( x ) � cos      , n � 0, 1, 2 � ;
                                 � l �                     l
��� ���� �������� ���� ����������� ������� �����
                                        2                  2
                                 X0          � l , Xn          � l 2 , n � 1, 2,� .
      ����� ������ ������� ������ (8.1) – (8.5) � ����
                                                                �

                                             u ( x, t ) �      �T ( t )X
                                                               n� 0
                                                                            n         n   ( x ).

    �� ����� ������������, ��� ������� � ( x ) � � ( x ) ����� ���� ���-
������ � ��� ����� �� ������� ����������� ������� �X n ( x )�:
                                        �                                             �

                  �(x)�            �  n� 0
                                             � n X n( x ) , � ( x ) �                ��
                                                                                     n� 0
                                                                                              n   X n( x ) ,

���
                                             l                                            l
                                 1                                                   1
                    � 0�
                                 X0
                                        2    �
                                             0
                                                 � ( x ) X 0( x ) d x �
                                                                                     l 0  �
                                                                                         � ( x )d x ,

                         l                                              l
                1                                2               n� x
       � n�
              Xn
                    2   �
                        0
                          � ( x ) X n( x ) d x �
                                                 l 0
                                                     � ( x ) cos
                                                                  l     �
                                                                      , n � 1, 2,� ,

                             l                                      l
                        1                      2               n� x
              �0 �
                        l 0  �
                            � ( x ) d x , � n�
                                               l 0
                                                   � ( x ) cos
                                                                l   �
                                                                    , n � 1, 2,� .


                                                               50

Страницы