Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

52
)tx,(fuau
xxtt
2
, l
x
0 , 0
!
t , (8.24)
ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
00
)
x,(u , lx
d
d
0 , (8.25)
00
),(xu
t
, l
x
d
d
0 (8.26)
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t , (8.27)
0
22
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t . (8.28)
Ɂɞɟɫɶ
)
x,(
f
– ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
2
a ,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɬɟɦ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɱɬɨ ɢ ɜ ɡɚɞɚɱɟ (8.1) – (8.5).
ȼ ɫɢɥɭ ɩɪɢɧɰɢɩɚ Ⱦɸɚɦɟɥɹ (ɫɦ. §5) ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.24) – (8.28)
ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
³
t
d)IJIJ;tx,(v)tx,(u
0
W
, (8.29)
ɝɞɟ
)
IJ
t;x,(vv
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
xxt
vav
2
, l
x
0 , 0
!
t , (8.30)
00
)
IJ;x,(
v
, lx
d
d
0 , (8.31)
)IJx,(f)IJ;x,(v
t
0 ,
lx
d
d
0
, (8.32)
000
11
);t,(v);t,(v
x
W
E
W
D
, 0
!
t , (8.33)
0
22
)t;l,(v)t;l,(v
x
W
E
W
D
, 0
!
t . (8.34)
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ
0
!
W
ɮɭɧɤɰɢɹ
)
,
x
(
f
W
ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɚ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ:
¦
f
1n
nn
)x(X)IJ(f)x,(f
W
,
ɝɞɟ
xd)x(X)x,(f
X
)IJ(f
n
l
n
n
³
0
2
1
W
, !,, 21
n .
ɉɭɫɬɶ
0
2
2
2
1
!
E
E
. Ɍɨɝɞɚ, ɤɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɡɚɞɚɱɚ (8.30) – (8.34)
ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ
                  ut t � a 2 u xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,                 (8.24)
��������� ��������
                                    u ( x, 0 ) � 0 , 0 � x � l ,                     (8.25)
                                    ut ( x , 0) � 0 , 0 � x � l                      (8.26)
� ��������� ��������
                             � 1 u x ( 0 ,t ) � � 1 u ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,        (8.27)
                             � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � 0 , t � 0 .         (8.28)
     ����� f ( x, t ) – �������� �������, � ������������ a , � 1 , � 1 , � 2 ,  2


� 2 ������������� ��� �� ��������, ��� � � ������ (8.1) – (8.5).
   � ���� �������� ������� (��. §5) ������� ������ (8.24) – (8.28)
����� �������� � ����
                                                   t

                                    u ( x, t ) �
                                                   � v ( x, t � �; � ) d� ,
                                                   0
                                                                                     (8.29)

��� v � v ( x, t; � ) – ������� ������
                                    v t � a 2 v xx , 0 � x � l , t � 0 ,             (8.30)
                                    v ( x, 0 ; � ) � 0 , 0 � x � l ,                 (8.31)
                                v t ( x, 0 ; � ) � f ( x, � ) , 0 � x � l ,          (8.32)
                              �1 v x( 0, t ; � ) � �1 v ( 0, t ; � ) � 0 , t � 0 ,   (8.33)
                              � 2 v x ( l, t;� ) � � 2 v ( l, t; � ) � 0 , t � 0 .   (8.34)
      � ���������� ����� ������������, ��� ��� ������ �������������
� � 0 ������� f ( x , � ) ����� ���� ��������� � ��� ����� �� �������
����������� ������� ������ ������-��������:
                                                   �

                               f ( x,� ) �     � f ( � ) X ( x ),
                                                n �1
                                                       n         n



���
                                         l
                                1
                fn ( � ) �
                              Xn
                                     2   � f ( x,� ) X ( x ) d x , n � 1, 2,� .
                                         0
                                                           n



    ����� � 12 � � 22 � 0 . �����, ��� �������� ����, ������ (8.30) – (8.34)
����� �������


                                               52

Страницы