Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

54
¦
f
1
0
n
n
l
xn
tT)t(T)tx,(u
S
cos)( , (8.42)
ɝɞɟ
W
d)IJt()IJ(f)t(T
t
³
0
00
,
W
S
S
d
l
)IJt(an
)IJ(f
an
l
)t(T
t
nn
³
sin
0
, !,, 21
n .
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɚɤɠɟ ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ:
)tx,(fuau
xxt
2
, l
x
0 , 0
!
t , (8.43)
)
x(
)
x,(u
M
0 , lx
d
d
0 , (8.44)
)x()x,(u
t
\
0
, l
x
d
d
0 , (8.45)
000
11
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t , (8.46)
0
22
)tl,(u)tl,(u
x
E
, 0
!
t
. (8.47)
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.30) – (7.33) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)tx,(u)tx,(u)tx,(u
21
,
ɝɞɟ
1
u ɢ
2
u – ɪɟɲɟɧɢɹ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ ɪɚɧɟɟ ɡɚɞɚɱ:
xxt
uau
1
2
1
, lx
0 , 0
!
t ,
)x()x,(u
M
0
1
, l
x
d
d
0 ,
)x()x,(u
t
\
0
1
, lx
d
d
0 ,
000
1111
)t,(u)t,(u
x
E
, 0
!
t ,
0
1212
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t ,
ɢ
)tx,(fuau
xxt
2
2
2
, lx
0 , 0
!
t ,
00
2
)x,(u , l
x
d
d
0 ,
00
2
)x,(u
t
, lx
d
d
0 ,
000
2121
)t,(u)t,(u
x
E
, 0
!
t ,
0
2222
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t .
                                                       �
                                                                    n� x
                        u ( x, t ) � T0 ( t ) �   � T (t ) cos
                                                      n �1
                                                             n
                                                                     l
                                                                         ,               (8.42)

���
                                             t

                               T0 ( t ) �
                                            � f ( � )( t � � ) d � ,
                                             0
                                                  0


                                t
                           l                          n� a ( t � � )
                        n� a �
           Tn ( t ) �          f ( � ) sin
                                      n                              d� , n � 1, 2,� .
                                0
                                                            l
    ���������� ����� ��������� ������ ��� ������������� ���������
��������� ������ � ������������� ���������� ���������:
                ut � a 2 u xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,                         (8.43)
                u ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,                                       (8.44)
                ut ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,                                      (8.45)
                � 1 u x ( 0 ,t ) � � 1 u ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,                         (8.46)
                � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � 0 , t � 0 .                          (8.47)
      ������� ������ (7.30) – (7.33) ����� �������� � ����
                                    u ( x, t ) � u1( x, t ) � u2 ( x, t ) ,
��� u1 � u2 – ������� ������������� ����� �����:
                        u1 t � a 2 u1 xx , 0 � x � l , t � 0 ,
                        u 1 ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,
                        u1 t ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,
                        � 1 u1 x ( 0 ,t ) � � 1 u1 ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,
                        � 2 u1 x ( l, t ) � � 2 u 1 ( l, t ) � 0 , t � 0 ,
�
                        u 2 t � a 2 u2 xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,
                        u 2 ( x, 0 ) � 0 , 0 � x � l ,
                        u2 t ( x, 0 ) � 0 , 0 � x � l ,
                        � 1 u2 x ( 0 ,t ) � � 1 u2 ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,
                        � 2 u2 x ( l, t ) � � 2 u 2 ( l, t ) � 0 , t � 0 .

                                                      54

Страницы