Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

56
0
22
)tl,(v)tl,(v
x
E
D
,
0
!
t
, (8.59)
ɝɞɟ
)tx,(w)tx,(wa)tx,(f)tx,(f
txx
2
~
,
)
x,(w
)
x
(
)
x
( 0
M
M
~
, )x,(w)x()x(
t
0
\
~
.
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɜɢɞɚ (8.55) – (8.59) ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɨɫɶ ɜ §8, ɩ. 2.
ɉɪɢɦɟɪ 1.
Ɋɟɲɢɬɶ ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ
2
32
2
x
txuau
xxtt
S
sincos
, 10
x
, 0
!
t , (8.60)
1
2
3
20
x
)x,(u
S
sin , (8.61)
2
5
0
x
)x,(u
t
S
sin
, (8.62)
t
)
t
,u( cos
0
,
2
1 ttu
x
),( . (8.63)
Ɋɟɲɟɧɢɟ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.60) – (8.63) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)
tx,(w
)
tx,(v
)
tx,(u
,
ɝɞɟ
)
tx,(v – ɧɨɜɚɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
tx,(w ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹ-
ɟɬ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
t
)
t
,(w cos
0 ,
2
1 t)t,(w
x
. (8.64)
Ɏɭɧɤɰɢɸ
)
tx,(w ɛɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)
t
(dx
)
t
(c
)
t
x,(w
.
ɂɡ (8.64) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
t
)
t(d cos
,
2
t)t(c
, ɢ, ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
ttx)tx,(w cos
2
.
Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɧɨɜɚɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
tx,(v ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟ-
ɲɟɧɢɟɦ ɡɚɞɚɱɢ
)tx,(fvav
xxt
~
2
, 10
x
, 0
!
t , (8.65)
)
x(
)
x,(
v
M
~
0 , (8.66)
)x()x,(v
t
\
~
0 , (8.67)
00
)
t,(v ,
01
)t,(v
x
, (8.68) 
                              � 2 v x ( l, t ) � � 2 v ( l, t ) � 0 , t � 0 ,        (8.59)
���
                    ~
                    f ( x, t ) � f ( x, t ) � a 2 w xx ( x, t ) � w t ( x, t ) ,
             �~ ( x ) � � ( x ) � w ( x, 0 ) , �~ ( x ) � � ( x ) � w ( x, 0 ) .t

      ������� ������ ���� (8.55) – (8.59) ��������������� � §8, �. 2.
      ������ 1. ������ ��������� ������
                                                         �x
            ut t � a 2 u xx � 2 x � cos t � 3 sin             , 0 � x � 1, t � 0 ,   (8.60)
                                                         2
                               3� x
            u ( x, 0 ) � 2 sin       � 1,                                            (8.61)
                                 2
                              5� x
            ut ( x, 0 ) � sin      ,                                                 (8.62)
                               2
            u( 0 , t ) � cos t , u x (1, t ) � t 2 .                                 (8.63)

                                                �������

      ������� ������ (8.60) – (8.63) ����� �������� � ����
                                   u ( x, t ) � v ( x, t ) � w ( x, t ) ,
��� v ( x, t ) – ����� ����������� �������, � ������� w ( x, t ) �����������-
�� ��������� ��������
                              w ( 0 , t ) � cos t , w x ( 1 , t ) � t 2 .            (8.64)
      ������� w ( x, t ) ����� ������ � ����
                                     w ( x, t ) � c ( t ) x � d ( t ) .
      �� (8.64) �������, ��� d ( t ) � cos t , c ( t ) � t 2 , �, ����� �������,
                                        w ( x, t ) � x t 2 � cos t .
    ��� �������� ����, ����� ����������� ������� v ( x, t ) �������� ��-
������ ������
                                   ~
                  v t � a 2 v xx � f ( x, t ) , 0 � x � 1 , t � 0 ,                  (8.65)
                  v ( x, 0 ) � �~ ( x ) ,                                            (8.66)
                  v t ( x, 0 ) � �~ ( x ) ,                                          (8.67)
                  v ( 0 , t ) � 0 , v x ( 1, t ) � 0 ,                               (8.68)

                                                 56

Страницы