Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

55
3. ɋɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ. ɍɤɚɡɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ
ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
tx,(uu
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɧɟɨɞɧɨ-
ɪɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ
)tx,(fuau
xx
t
t
2
, l
x
0 , 0
!
t , (8.48)
ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
)
x(
)
x,(u
M
0
,
lx
d
d
0
, (8.49)
)x()x,(u
t
\
0
, l
x
d
d
0 (8.50)
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
)t()t,(u)t,(u
x 111
00
J
E
, 0
!
t , (8.51)
)t()tl,(u)tl,(u
x 222
J
E
D
, 0
!
t . (8.52)
Ɂɞɟɫɶ
)
tx,(
f
,
)
x
(
M
,
)
x
(
\
, )t(
1
J
)t(
2
J
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɚɤɨ-
ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
2
a ,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɬɟɦ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɱɬɨ ɢ ɜ
ɡɚɞɚɱɟ (8.1) – (8.5).
Ȼɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.48) – (8.52) ɜ ɜɢɞɟ
)
t
x,(w
)
t
x,(
v
)
t
x,(u
,
ɝɞɟ
)
tx,(v – ɧɨɜɚɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ
)
tx,(w – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤ-
ɰɢɹ, ɞɜɚɠɞɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɩɨ
x
ɢɩɨt ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɚɹ ɝɪɚɧɢɱ-
ɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
)t()t,(w)t,(w
x 111
00
J
E
D
, 0
!
t , (8.53)
)t()tl,(w)tl,(w
x 222
J
E
D
, 0
!
t . (8.54)
ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
t
x,(w
ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɨ ɜ §7, ɩ. 3. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ
ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɢɡɜɟɫɬɧɚ.
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɮɭɧɤɰɢɸ
w
v
u
ɜ (8.48) – (8.52) ɢ ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
(8.53), (8.54), ɩɨɥɭɱɢɦ ɡɚɞɚɱɭ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɨɜɨɣ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
tx,(v :
)tx,(fvav
xxtt
~
2
,
lx
0
, 0
!
t , (8.55)
)
x(
)
x,(
v
M
~
0
,
lx
d
d
0
, (8.56)
)x()x,(v
t
\
~
0
, l
x
d
d
0 , (8.57)
000
11
)t,(v)t,(v
x
E
, 0
!
t , (8.58) 
    3. ��������� ������ ��� ������������� ��������� ���������
������ � ������������� ���������� ���������. ��������� ������
������������� ��������� �������:
    ��������� ����� ������� u � u ( x,t ) , ��������������� ������-
������� ��������� ��������� ������
                   ut t � a 2 u xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,                 (8.48)
��������� ��������
                              u ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,                      (8.49)
                               ut ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l                      (8.50)
� ��������� ��������
                            � 1ux ( 0 , t ) � � 1 u( 0 , t ) � � 1 ( t ) , t � 0 ,    (8.51)
                            � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � � 2 ( t ) , t � 0 .   (8.52)
    ����� f ( x, t ) , � ( x ) , � ( x ) , � 1 ( t ) � 2 ( t ) – �������� �������, � ��-
���������� a 2 , � 1 , � 1 , � 2 , � 2 ������������� ��� �� ��������, ��� � �
������ (8.1) – (8.5).
    ����� ������ ������� ������ (8.48) – (8.52) � ����
                           u ( x, t ) � v ( x, t ) � w ( x, t ) ,
��� v ( x, t ) – ����� ����������� �������, � w ( x, t ) – ������������ ����-
���, ������ ���������������� �� x � �� t � ��������������� ������-
��� ��������
                          �1w x( 0, t ) � �1 w ( 0, t ) � � 1 ( t ) , t � 0 ,         (8.53)
                          � 2 w x ( l, t ) � � 2 w ( l, t ) � � 2 ( t ) , t � 0 .     (8.54)
     ���������� ������� w ( x, t ) ����������� � §7, �. 3. � ����������
����� ������������, ��� ������ ������� ��������.
     ���������� ������� u � v � w � (8.48) – (8.52) � �������� ���������
(8.53), (8.54), ������� ������ ������������ ����� ����������� �������
v ( x, t ) :
                                             ~
                          v t t � a 2 v xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,         (8.55)
                          v ( x, 0 ) � �~ ( x ) , 0 � x � l ,                         (8.56)
                          v t ( x, 0 ) � �~ ( x ) , 0 � x � l ,                       (8.57)
                          � 1v x ( 0 , t ) � � 1 v ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,            (8.58)


                                              55

Страницы