Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

53
¦
f
1n
nn
n
n
)x(XtȜa
a
)IJ(f
);tx,(v sin
O
W
. (8.35)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8.35) ɜ (8.29) ɢ ɢɡɦɟɧɹɹ ɦɟɫɬɚɦɢ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢ ɢɧɬɟɝ-
ɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
¦
f
1n
nn
)x(X)t(T)tx,(u ,
ɝɞɟ
> @
³
t
nn
n
n
d)IJ(f)tIJ(a
a
)t(T
0
1
WO
O
sin
, !,, 21
n .
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɬɟɩɟɪɶ, ɱɬɨ
1
21
D
D
, 0
21
E
E
. ȼ ɫɢɥɭ ɩɪɢɧɰɢɩɚ Ⱦɸɚ-
ɦɟɥɹ ɪɟɲɟɧɢɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ (8.29), ɝɞɟ
)
IJt;x,(
v
v
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
xxt
vav
2
, lx
0 , 0
!
t , (8.36)
00
)
IJ
;x,(v , l
x
d
d
0 , (8.37)
)IJx,(f)IJ;x,(v
t
0 , l
x
d
d
0 , (8.38)
00
);t,(v
x
W
, 0
!
, (8.39)
0
)t;l,(v
x
W
, 0
!
t . (8.40)
Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.36) – (8.40) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
¦
f
xtȜa
a
)IJ(f
t)IJ(f)IJt;x,(v
n
n
n
n
n
O
O
cossin
1
0
l
xn
l
tan
n
f
a
l
t)IJ(f
n
n
SS
W
S
cossin
)(
¦
f
1
0
, (8.41)
ɝɞɟ
³
l
xd)IJx,(f
l
)IJ(f
0
0
1
,
³
l
n
xd
l
xn
)IJx,(f
l
)IJ(f
0
2
S
cos
, !,, 21
n .
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8.41) ɜ (8.29) ɢ ɢɡɦɟɧɹɹ ɦɟɫɬɚɦɢ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢ ɢɧɬɟɝ-
ɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɫɥɭɱɚɟ
1
21
D
D
, 0
21
E
E
ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɡɚ-
ɞɚɱɢ (8.24) – (8.28) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
                                        �
                                              fn ( � )
                 v ( x, t ;� ) �      �a            �n
                                                                      �           �
                                                              sin a �n t X n ( x ) .              (8.35)
                                       n �1

    ���������� (8.35) � (8.29) � ������� ������� ������������ � �����-
���������, �������, ���
                                                          �

                                     u ( x, t ) �    �T ( t )X ( x ),
                                                         n �1
                                                                  n           n



���
                                 t


                                 � sin �a                                 �
                        1
          Tn ( t ) �                            �n ( � � t ) f n ( � ) d� , n � 1, 2,� .
                       a �n      0

����������� ������, ��� � 1 � � 2 � 1 , � 1 � � 2 � 0 . � ���� �������� ���-
���� ������� ��������������� ������ ����� �������� � ���� (8.29), ���
v � v ( x, t; � ) – ������� ������
                         v t � a 2 v xx , 0 � x � l , t � 0 ,                                     (8.36)
                         v ( x, 0 ; � ) � 0 , 0 � x � l ,                                         (8.37)
                         v t ( x, 0 ; � ) � f ( x, � ) , 0 � x � l ,                              (8.38)
                             v x( 0, t ; � ) � 0 , t � 0 ,                                        (8.39)
                             v x ( l, t; � ) � 0 , t � 0 .                                        (8.40)
��� �������� ����, ������� ������ (8.36) – (8.40) ����� ���
                                                 �
                                                           fn ( � )
            v ( x, t; � ) � f 0 ( � ) t �      �a                �n
                                                                              �       �
                                                                          sin a �n t cos �n x �
                                                n �1

                                                       f n (� )
                                               �
                                        l                           n� a t     n� x
                   � f0 ( � ) t �
                                       �a     �
                                              n�1
                                                          n
                                                                sin
                                                                      l
                                                                           cos
                                                                                l
                                                                                    ,             (8.41)

���
                                                     l
                                            1
                                 f0 ( � ) �
                                            l        � f ( x,� ) d x ,
                                                     0
                                 l
                             2                                  n� x
                fn ( � ) �
                             l   � f ( x,� ) cos
                                 0
                                                                 l
                                                                     d x , n � 1, 2,� .

    ���������� (8.41) � (8.29) � ������� ������� ������������ � �����-
���������, �������, ��� � ������ � 1 � � 2 � 1 , � 1 � � 2 � 0 �������� ��-
���� (8.24) – (8.28) �������� �������

                                                     53

Страницы