Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

51
Ɍɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɪɚɧɶɲɟ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɡɚɞɚɱɭ Ʉɨɲɢ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
ɮɭɧɤɰɢɣ
)t(T
n
:
0
2
cc
)t(Ta)t(T
nnn
O
, (8.20)
nn
)(T
M
0 ,
nn
)(T
\
c
0 , !,,, 210
n . (8.21)
ȼ ɫɥɭɱɚɟ
0
n ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (8.20) ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ
0
0
c
c
)t(T . (8.22)
Ɉɛɳɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (8.22) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
tBA)t(T
000
,
ɝɞɟ
0
A ,
0
B – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
(8.21), ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
00
M
A ,
00
\
B .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜ ɫɥɭɱɚɟ
0
n
ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (8.20), (8.21) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
t)t(T
000
\
M
.
ȼ ɫɥɭɱɚɟ
1
t
n
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
n
O
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ, ɢ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɡɚɞɚɱɢ (8.20), (8.21) ɞɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (8.18):
ta
a
ta)t(T
n
n
n
nnn
O
O
\
OM
sincos
l
tan
an
l
l
tan
n
n
S
\
M
sincos
, !,, 21
n .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɢ
1
21
D
D
, 0
21
E
E
ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɡɚɞɚɱɢ (8.1) –
(8.5) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
¦¦
f
f
1
0
0 n
nn
n
nn
)x(X)t(T)t(T)x(X)t(T)tx,(u
l
xn
l
tan
an
l
l
tan
t
n
n
n
SS
S
\
S
M\M
cossincos
¦
f
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
00
.
(8.23)
2. ɋɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ. ɍɤɚɡɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɮɨɪ-
ɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
x,(uu
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɧɟɨɞɧɨ-
ɪɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ
    ��� ��, ��� � ������, �� �������� ������ ���� ��� �����������
������� Tn ( t ) :
                          Tn�� ( t ) � a 2 � n Tn ( t ) � 0 ,                                    (8.20)
                     Tn ( 0 ) � � n , Tn�( 0 ) � � n , n � 0, 1, 2, � .                          (8.21)
    � ������ n � 0 ��������� (8.20) ��������� ���
                                                 T0��( t ) � 0 .                                 (8.22)
    ����� �������� ��������� (8.22) �������� �������
                                               T0 ( t ) � A0 � B0 t ,
��� A0 , B0 – ������������ ����������. ��������� ��������� �������
(8.21), �������, ���
                                          A0 � � 0 , B0 � � 0 .
    ����� �������, � ������ n � 0 ������� ������ (8.20), (8.21) ����� ���
                                               T0 ( t ) � � 0 � � 0 t .
    � ������ n � 1 ����������� �������� � n ������������, � �������
������ (8.20), (8.21) ������ �������� (8.18):
                                                                   �n
                    Tn ( t ) � � n cos a � n t �                          sin a � n t �
                                                              a �n
                                     n� a t l � n     n� a t
                  � � n cos                �      sin        , n � 1, 2,� .
                                       l     n� a       l
    ����� �������, ��� � 1 � � 2 � 1 , � 1 � � 2 � 0 �������� ������ (8.1) –
(8.5) �������� �������
                           �                                              �

           u ( x, t ) �   �
                          n� 0
                                 Tn ( t ) X n ( x ) � T0 ( t ) �        �T ( t )X
                                                                        n �1
                                                                               n     n    (x)�

                                                     n� a t l � n
                                 �
                                      �                               n� a t �      n� x
          � �0 �� 0 t �     � ����
                               n �1
                                           n   cos
                                                       l
                                                           �
                                                             n� a
                                                                  sin
                                                                        l �
                                                                             �� cos
                                                                                     l
                                                                                         .

                                                                                                 (8.23)
    2. ��������� ������ ��� ������������� ��������� ���������
������ � ����������� ���������� ���������. ��������� ������ ���-
���������� ��������� �������:
    ��������� ����� ������� u � u ( x,t ) , ��������������� ������-
������� ��������� ��������� ������
                                                      51

Страницы