Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

41
> @
³
t
nnn
d)IJ(f)tIJ(a)t(T
0
2
WO
exp , !,, 21
n .
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɫ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ:
)tx,(fuau
xxt
2
,
lx
0
, 0
!
t , (7.30)
)
x
(
)
x,(u
M
0 , l
x
d
d
0 , (7.31)
000
11
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t , (7.32)
0
22
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t . (7.33)
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ (7.30) – (7.33) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)tx,(u)tx,(u)tx,(u
21
,
ɝɞɟ
1
u
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
xxt
uau
1
2
1
,
lx
0
, 0
!
t ,
)x()x,(u
M
0
1
, lx
d
d
0 ,
000
1111
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t ,
0
1212
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t ,
ɚ
2
u – ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
)tx,(fuau
xxt
2
2
2
, l
x
0 , 0
!
t ,
00
2
)x,(u
, l
x
d
d
0 ,
000
2121
)t,(u)t,(u
x
E
D
, 0
!
t ,
0
2222
)tl,(u)tl,(u
x
E
D
, 0
!
t .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɚɞɚɱɚ (7.30) – (7.33) ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɦ ɜɵɲɟ
ɡɚɞɚɱɚɦ.
3. ɋɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞ-
ɧɨɫɬɢ ɫ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ. ɍɤɚɡɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ
ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
tx,(uu
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɧɟɨɞɧɨ-
ɪɨɞɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
)tx,(fuau
xxt
2
, lx
0 , 0
!
t , (7.34)
ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ
                         t

           Tn ( t ) �
                        � exp �a � ( � � t )� f ( � ) d� , n � 1, 2,� .
                                      2
                                          n            n
                         0

    ���������� ������ ��������� ������ ��� ������������� ���������
���������������� � ������������ ��������� ��������:
                    ut � a 2 u xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,            (7.30)
                             u ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,                 (7.31)
                        � 1 u x ( 0 ,t ) � � 1 u ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,        (7.32)
                        � 2 u x ( l, t ) � � 2 u ( l, t ) � 0 , t � 0 .         (7.33)
    ������� ������ (7.30) – (7.33) ����� �������� � ����
                                  u ( x, t ) � u1( x, t ) � u2( x, t ) ,
��� u1 – ������� ������
                              u1 t � a 2 u1 xx , 0 � x � l , t � 0 ,
                               u 1 ( x, 0 ) � � ( x ) , 0 � x � l ,
                        � 1 u1 x ( 0 ,t ) � � 1 u1 ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,
                        � 2 u1 x ( l, t ) � � 2 u 1 ( l, t ) � 0 , t � 0 ,
� u2 – ������� ������
                  u 2 t � a 2 u2 xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,
                                  u 2 ( x, 0 ) � 0 , 0 � x � l ,
                        � 1 u2 x ( 0 ,t ) � � 1 u2 ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,
                        � 2 u2 x ( l, t ) � � 2 u 2 ( l, t ) � 0 , t � 0 .
    ����� �������, ������ (7.30) – (7.33) �������� � ������������� ����
�������.
    3. ��������� ������ ��� ������������� ��������� �����������-
����� � ������������� ���������� ���������. ��������� ������
������������� ��������� �������:
    ��������� ����� ������� u � u ( x,t ) , ��������������� ������-
������� ��������� ����������������
                             ut � a 2 u xx � f ( x, t ) , 0 � x � l , t � 0 ,   (7.34)
���������� �������

                                                41

Страницы