Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
2
¸
¹
·
¨
©
§
l
n
n
S
OO
, !,, 21
n ,
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɢɫɤɨɦɵɦɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ. ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
n
O
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
l
xn
BxB)x(X
nnnn
S
O
sinsin
, !,, 21
n ,
ɝɞɟ
0
z
n
B – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɥɸɛɚɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɩɨ-
ɫɬɨɹɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ, ɨɬɥɢɱɧɨɝɨ ɨɬ ɧɭɥɹ, ɬɨ ɛɟɡ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹ ɨɛɳɧɨɫɬɢ
ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ
1
n
B ,
!,, 21
n
.
ɂɬɚɤ, ɢɫɤɨɦɵɦɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
l
xn
)x(X
n
S
sin
, !,, 21
n . (6.22)
Ⱦɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ (6.22) ɧɚɣɞɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
2
n
X
, ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɟ ɜ ɮɨɪɦɭɥɟ
(6.12):
2
2
1
2
1
00
2
2
l
xd
l
xn
xd
l
xn
X
ll
n
¸
¹
·
¨
©
§
³³
SS
cossin ,
!,, 21
n .
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 3
. ɉɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x
(
f
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨ-
ɪɹɸɳɟɣ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɬɟɨɪɟɦɵ ɋɬɟɤɥɨɜɚ, ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ (6.11) ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬ-
ɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ (6.22) ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ
],[ l0
ɫ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟɦ ɜ ɬɪɢɝɨ-
ɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɧɟɱɟɬɧɨɝɨ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɨɬɪɟ-
ɡɨɤ
],[ ll
(ɫɦ., ɧɚɩɪɢɦɟɪ, [1, §55]).
ɉɪɢɦɟɪ 2
. ɇɚɣɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɧɨɪɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɝɪɚ-
ɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ II ɛ):
000
1
c
)(Xh)(X , 0
1
!
h , (6.23)
0
)
l(
. (6.24)
Ɋɟɲɟɧɢɟ
Ɍɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɩɪɢɦɟɪɟ, ɜɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
O
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ, ɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1) ɞɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (6.20).
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɫɥɨɜɢɟ (6.23), ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
AhB
O
1
, ɢ, ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
                                                 2
                                           � n� �
                             � � �n � �         � , n � 1, 2, � ,
                                           � l �
�������� �������� ������������ ����������. ������������ ��������
� n �������� ����������� �������
                                                      n� x
             X n ( x ) � Bn sin � n x � Bn sin             , n � 1, 2, � ,
                                                       l
��� Bn � 0 – ������������ ����������.
    ��� ��� ����� ����������� ������� ������������ � ��������� �� ��-
��������� ���������, ��������� �� ����, �� ��� ����������� ��������
����� �������, ��� Bn � 1 , n � 1, 2, � .
    ����, �������� ������������ ��������� �������� �������
                                           n� x
                         X n ( x ) � sin        , n � 1, 2, � .              (6.22)
                                            l
                                                            2
     ��� ������� (6.22) ������ �������� X n , ������������ � �������
(6.12):
                         l                        l
                                   n� x      1 �          2 n� x �     l
                       � � sin 2        d x � � � 1 � cos
                   2
              Xn                                                 �d x � ,
                         0
                                    l        20�             l �       2
             n � 1, 2, � .
     ���������� 3. ��������, ��� ���������� ������� f ( x ) , ���������-
������ �������� ������� ��������, � ��� ����� (6.11) �� ������� �����-
������ ������� (6.22) ��������� �� ������� [ 0, l ] � ����������� � �����-
������������� ��� ����� ��������� ����������� ���� ������� �� ����-
��� [ � l , l ] (��., ��������, [1, §55]).
    ������ 2. ����� ����������� ��������, ����������� ������� �
�������� ���� ����������� ������� � ������ ������-�������� � ���-
������� ��������� II �):
                              X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , h 1 � 0 ,         (6.23)
                                              X( l ) � 0.                    (6.24)

                                            �������

    ��� ��, ��� � � ���������� �������, ��� ����������� �������� �
������������, � ����� ������� ��������� (6.1) ������ �������� (6.20).
                                                      �         �
��������� ������� (6.23), �������, ��� B � h1 � A , �, ����� �������,


                                            32

Страницы