Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
ɑɚɫɬɧɵɦɢ ɫɥɭɱɚɹɦɢ ɡɚɞɚɱɢ (5.1) – (5.3) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɜ
§§3, 4 ɫɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
,)t,x(f
x
)t,x(u
a
t
)t,x(u
w
w
w
w
2
2
2
lx
0 , 0
!
t
,
00
)
,x(u , lx
dd
0 ,
00
0
11
w
w
)t,(u
x
)t,(u
ED
, 0
!
t
, (5.4)
0
22
w
w
)t,l(u
x
)t,l(u
ED
,
0
!
t
ɢ ɫɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
,)t,x(f
x
)t,x(u
a
t
)t,x(u
w
w
w
w
2
2
2
2
2
l
x
0 , 0
!
t ,
00
)
,x(u ,
0
0
w
w
t
),x(u
, lx
d
d
0 ,
00
0
11
w
w
)t,(u
x
)t,(u
ED
,
0
!
t
, (5.5)
0
22
w
w
)t,l(u
x
)t,l(u
ED
, 0
!
t .
ɉɪɢ ɷɬɨɦ
1
n
,
222
xaA
w
w
,
)
l,( 0
:
, ɝɪɚɧɢɰɚ
*
ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ
ɞɜɭɯ ɭɱɚɫɬɤɨɜ: ɬɨɱɟɤ
0
x
ɢ l
x
; 2
, 1
21
rr . ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɞɚɱɢ
(5.4)
1
m , ɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɞɚɱɢ (5.5) 2
m .
Ɍɟɨɪɟɦɚ (ɩɪɢɧɰɢɩ Ⱦɸɚɦɟɥɹ). ɉɭɫɬɶ ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ
ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
W
,
T
W
0 , ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɤɥɚɫɫɢɱɟ-
ɫɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
)
;
t
,x(
v
v
W
ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ
0
w
w
vA
t
v
m
m
,
T
Q)t,x(
, (5.6)
00
)
;,
x
(v
W
, 0
0
w
w
t
);,x(v
W
, ! , 0
0
2
2
w
w
m
m
t
);,x(v
W
,
),x(f
t
);,x(v
m
m
W
W
w
w
1
1
0
,
:
x
, (5.7)
0
);t,x(v)D,x(l
xj,i
W
,
i
x
*
,
T
x
0 , (5.8)
     �������� �������� ������ (5.1) – (5.3) �������� ������������� �
§§3, 4 ��������� ������ ��� ����������� ��������� ����������������
       � u( x , t )       � 2u( x , t )
                    � a2                � f ( x , t ), 0 � x � l , t � 0 ,
           �t                � x2
       u ( x ,0 ) � 0 , 0 � x � l ,
            �u( 0, t )
       �1              � � 1 u( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,                                   (5.4)
              �x
            � u( l , t )
       �2                � � 2 u( l , t ) � 0 , t � 0
               �x
� ��������� ������ ��� ����������� ��������� ���������
       � 2 u( x , t )     2 � u( x , t )
                             2

                      � a                 � f ( x , t ), 0 � x � l , t � 0 ,
           �t2                 � x2
                         � u( x , 0 )
       u ( x ,0 ) � 0 ,                � 0, 0 � x � l ,
                             �t
           �u( 0, t )
       �1              � � 1 u( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,                                   (5.5)
              �x
            � u( l , t )
       �2                � � 2 u( l , t ) � 0 , t � 0 .
               �x


     ��� ���� n � 1 , A � a 2 � 2 � x 2 , � � ( 0 , l ) , ������� � ������� ��
���� ��������: ����� x � 0 � x � l ; s � 2 , r1 � r2 � 1 . � ������ ������
(5.4) m � 1 , � � ������ ������ (5.5) m � 2 .
     � � � � � � � (������� �������). ����� ��� ������ �������������
�������� ��������� � , 0 � � � T , ���������� ������������ ��������-
���� ������� v � v ( x , t ; � ) ������� ������
                                �mv
                                        � A v � 0 , ( x , t ) � QT ,                    (5.6)
                                �t m
                               � v ( x , 0; � )             � m �2 v( x , 0 ;� )
         v ( x , 0; � ) � 0 ,                   � 0, �,                          � 0,
                                       �t                          � t m �2
                         � m �1v ( x , 0 ;� )
                                              � f ( x ,� ) , x � � ,                    (5.7)
                               � t m �1
                 l i , j ( x , Dx ) v ( x , t ; � ) � 0 , x � � i , 0 � x � T ,         (5.8)


                                              21

Страницы