Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
U
SEa
,
U
Ff
. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (4.2) ɨɩɢ-
ɫɵɜɚɟɬ ɞɜɚ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɨɰɟɫɫɚ: ɦɚɥɵɟ ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ ɢ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɫɬɟɪɠɧɹ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɭ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɢ ɤɪɚɟɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (4.2). ȼɧɚɱɚɥɟ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɫɥɭɱɚɣ ɦɚɥɵɯ ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɪɨɰɟɫɫ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ
ɮɨɪɦɵ,
ɡɚɞɚɜɚɟɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ
)
,x(u 0
, ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ),x(u
t
0 , ɬɨ ɞɥɹ
ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɧɭɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
)
x
(
)
,
x
(u
M
0 , )x(
t
),x(u
\
w
w
0
, l
x
d
d
0 , (4.5)
ɝɞɟ
)
x
(
M
ɢ
)
x
(
\
– ɢɡɜɟɫɬɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ȿɫɥɢ ɤɨɧɰɵ
0
x
ɢɥɢ
lx
ɫɬɪɭɧɵ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɵ, ɬɨ ɫɬɚɜɹɬɫɹ ɤɪɚɟɜɵɟ
ɭɫɥɨɜɢɹ
00
)
t,(u , 0
)
t,l(u , 0
!
t .
ȿɫɥɢ ɤɨɧɰɵ ɫɬɪɭɧɵ ɞɜɢɠɭɬɫɹ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɬɨ ɫɬɚɜɹɬɫɹ ɤɪɚɟ-
ɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
)t()t,(u
1
0
P
, )t()t,l(u
2
P
, 0
!
t , (4.6)
ɝɞɟ
)t(
1
P
ɢ )t(
2
P
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɢ ɞɪɭɝɢɟ ɬɢɩɵ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ. ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɭ ɬɚɤɢɯ ɭɫ-
ɥɨɜɢɣ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɞɧɨɪɨɞ-
ɧɨɝɨ ɫɬɟɪɠɧɹ.
ȿɫɥɢ ɨɞɢɧ ɢɡ ɤɨɧɰɨɜ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,
0
x
, ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬ-
ɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɨɦɭ ɮɭɧɤɰɢɟɣ
)
t(
P
, ɚ ɧɚ ɤɨɧɰɟ l
x
ɡɚɞɚɧɚ
ɜɧɟɲɧɹɹ ɫɢɥɚ, ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɚ ɨɫɶ Ox ɪɚɜɧɚ
)
t(
Z
, ɬɨ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɤɪɚɟ-
ɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
)t()t,(u
1
0
P
, (4.7)
)t(
x
)t,l(u
SE
Z
w
w
, 0
!
t . (4.8)
ɍɫɥɨɜɢɟ (4.8) ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ (4.3) ɢ ɬɨɝɨ ɮɚɤɬɚ, ɱɬɨ ɫɢɥɚ ɧɚ-
ɬɹɠɟɧɢɹ ɧɚ ɤɨɧɰɟ
lx
ɪɚɜɧɚ ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɣ ɤ ɷɬɨɦɭ ɤɨɧɰɭ ɜɧɟɲɧɟɣ ɫɢɥɟ.
ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɟɫɥɢ ɤɨɧɟɰ
0
x
ɡɚɤɪɟɩɥɟɧ, ɚ ɤɨɧɟɰ l
x
ɫɜɨɛɨɞɟɧ (ɬɨ
ɟɫɬɶ ɧɚ ɧɟɝɨ ɧɟ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɢɥɵ), ɬɨ ɭɫɥɨɜɢɹ (4.7), (4.8) ɩɪɢɧɢɦɚ-
ɸɬ ɜɢɞ
00
)
t,(u , 0
w
w
x
)t,l(u
.
a � E S � , f � F � . ����� �������, ���� � �� �� ��������� (4.2) ���-
������ ��� ��������� ���������� ��������: ����� ���������� ���������
���������� ������ � ���������� ��������� ����������� �������.
     ���������� ���������� ��������� � ������� ������� ��� ���������
��������� (4.2). ������� ����� ������������� ������ ����� ����������
��������� ���������� ������.
     ��� ��� ������� ��������� ������ ������� �� �� ��������� �����,
���������� �������� u ( x , 0 ) , � ��������� �������� u t ( x , 0 ) , �� ���
�������� ����� �������� ����� ������������ ��������� �������
                                        � u( x , 0 )
               u ( x ,0 ) � � ( x ) ,                � � ( x ), 0 � x � l ,      (4.5)
                                            �t
��� � ( x ) � � ( x ) – ��������� �������.
     ���� ����� x � 0 ��� x � l ������ ����������, �� �������� �������
�������
                           u( 0 , t ) � 0 , u( l , t ) � 0 , t � 0 .
    ���� ����� ������ �������� �� ���������� ������, �� �������� ����-
��� �������
                      u( 0 , t ) � � 1 ( t ), u( l , t ) � � 2 ( t ) , t � 0 ,   (4.6)
��� � 1 ( t ) � � 2 ( t ) – �������� �������.
    �������� � ������ ���� ��������� �������. ���������� ����� ��-
����� ���������� �� ������� �������� ���������� ��������� �������-
���� �������.
    ���� ���� �� ������ �������, ��������, x � 0 , �������� �� ������-
���� ������, ������������� �������� � ( t ) , � �� ����� x � l ������
������� ����, �������� ������� �� ��� Ox ����� � ( t ) , �� �������� ����-
��� �������
                               u( 0 , t ) � � 1 ( t ),                           (4.7)
                                  � u( l , t )
                             ES                � � ( t ), t � 0.                 (4.8)
                                     �x
     ������� (4.8) ������� �� ����������� (4.3) � ���� �����, ��� ���� ��-
������� �� ����� x � l ����� ����������� � ����� ����� ������� ����.
     � ���������, ���� ����� x � 0 ���������, � ����� x � l �������� (��
���� �� ���� �� ��������� ������� ����), �� ������� (4.7), (4.8) �������-
�� ���
                                                 � u( l , t )
                              u( 0 , t ) � 0 ,                � 0.
                                                    �x


                                           18

Страницы