Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
ɉɭɫɬɶ
))t,x(u,x(P
t
x
– ɬɨɱɤɚ ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ x ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟ-
ɦɟɧɢ t . ɑɟɪɟɡ
)t,x(T
G
ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɫɢɥɭ ɧɚɬɹɠɟɧɢɹ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɭɸ ɧɚ ɭɱɚ-
ɫɬɨɤ
t
x
t
PP
0
ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɭɱɚɫɬɤɚ
t
l
t
x
PP . Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɬɪɟɬɶɟɦɭ ɡɚ-
ɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ, ɫɢɥɚ ɧɚɬɹɠɟɧɢɹ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɧɚ ɭɱɚɫɬɨɤ
t
l
t
x
PP ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ
ɭɱɚɫɬɤɚ
t
x
t
PP
0
ɪɚɜɧɚ
)t,x(T
G
.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɫɬɪɭɧɚ ɧɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɹɟɬɫɹ ɢɡɝɢɛɭ, ɬɨ ɜ ɥɸɛɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
ɫɢɥɚ ɧɚɬɹɠɟɧɢɹ ɜ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɤɟ ɫɬɪɭɧɵ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɩɨ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɤ ɫɬɪɭɧɟ
ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ. Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ ɬɚɤɠɟ [3, ɝɥ. 1, §1], ɱɬɨ ɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɦ
ɫɥɭɱɚɟ ɦɚɥɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɪɭɧɵ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɫɢɥɵ ɧɚɬɹɠɟɧɢɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ:
const
{
0
T)t,x(T
G
ɞɥɹ ɜɫɟɯ l
x
d
d
0 , 0
t
t .
ɉɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
,x(F , ɨɛɥɚ-
ɞɚɸɳɭɸ ɬɟɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ
0
t
t
ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɧɚ ɨɫɶ Ou ɪɟɡɭɥɶ-
ɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɧɚ
ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɣ ɦɚɥɵɣ ɭɱɚɫɬɨɤ
t
dxx
t
x
PP
ɪɚɜɧɚ
x
d
)
t,
x
(F .
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ, ɦɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ [3, ɝɥ. 1, §1], ɱɬɨ
ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t,
x
(u ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
,F
x
u
T
t
u
w
w
w
w
2
2
0
2
2
U
lx
0
,
0
!
t
. (4.1)
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (4.1) ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɚɥɵɯ ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ. ȿɫɥɢ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɢɥɵ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ (
0
{
F ), ɬɨ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɜɨɛɨɞɧɵɦɢ, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ – ɜɵɧɭɠ-
ɞɟɧɧɵɦɢ.
ȿɫɥɢ ɫɬɪɭɧɚ ɨɞɧɨɪɨɞɧɚ, ɬɨ ɟɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ
U
ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ, ɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (4.1) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
,f
x
u
a
t
u
w
w
w
w
2
2
2
2
2
l
x
0 , 0
!
t , (4.2)
ɝɞɟ
U
0
Ta
,
U
Ff
.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (4.1) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (1.4) ɩɪɢ
1
n ,
0
Tp
, ɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (4.2) – ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ
ɜɨɥɧɨɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1.5).
Ʉ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (1.4) ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɬɚɤɠɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɚ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɟɪɠɧɹ (ɢɥɢ ɩɪɭɠɢɧɵ).
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɭɩɪɭɝɢɣ ɫɬɟɪɠɟɧɶ ɞɥɢɧɵ l, ɡɚɧɢɦɚɸɳɢɣ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ
ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɨɬɪɟɡɨɤ
> @
l,0 ɨɫɢ Ox. ɉɪɨɰɟɫɫ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɟɪɠɧɹ
ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɩɢɫɚɧ ɮɭɧɤɰɢɟɣ
)
t,
x
(u , ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɳɟɣ ɫɨɛɨɣ ɫɦɟɳɟɧɢɟ ɤ
ɦɨɦɟɧɬɭ ɜɪɟɦɟɧɢ
t ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɢ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɢɦɟɜɲɟɣ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ
    ����� Pxt � ( x , u ( x , t )) – ����� ������ � ��������� x � ������ ���-
                �
���� t . ����� T ( x , t ) ��������� ���� ���������, ����������� �� ���-
���� P0t Pxt �� ������� ������� Pxt Pl t . �������, ��� �������� �������� ��-
���� �������, ���� ���������, ����������� �� ������� Pxt Pl t �� �������
                       �
������� P0t Pxt ����� � T ( x , t ) .
     ��� ��� ������ �� �������������� ������, �� � ����� ������ �������
���� ��������� � ����� ����� ������ ���������� �� ����������� � ������
� ���� �����. ����� �������� ����� [3, ��. 1, §1], ��� � ���������������
������ ����� ��������� ������ �������� ���� ��������� ���������:
 �
T ( x , t ) � T0 � const ��� ���� 0 � x � l , t � 0 .
    ���������� ������� ��� ����� �������� ������� F ( x , t ) , ����-
������ ��� ���������, ��� ��� ������ t � 0 �������� �� ��� Ou ������-
��������� ������� ������� ���, ����������� � ������ ������� t ��
������������ ����� ������� Pxt Pxt� dx ����� F ( x , t ) d x .
    ��������� ������ ����� �������, ����� �������� [3, ��. 1, §1], ���
������� u ( x , t ) ������������� ���������
                               � 2u      � 2u
                           �        � T0      � F, 0 � x � l , t � 0.   (4.1)
                               �t 2
                                         � x2
    ��������� (4.1) ����� �������� ��������� ����� ���������� ������-
��� ������������ ������. ���� ������� ���� ����������� ( F � 0 ), ��
��������� ������ ���������� ����������, � ��������� ������ – �����-
�������.
    ���� ������ ���������, �� �� ��������� � ���������, � ���������
��������� (4.1) ����� �������� � ����
                           � 2u     2 � u
                                        2

                                � a        � f , 0 � x � l , t � 0,     (4.2)
                           �t 2       � x2
��� a � T0 � , f � F � .
     ��������, ��� ��������� (4.1) �������� ������� ������� ���������
��������� (1.4) ��� n � 1 , p � T0 , � ��������� (4.2) – ������� �������
��������� ��������� (1.5).
     � ��������� (1.4) �������� ����� �������������� �������� ��������
��������� ������� (��� �������).
     ���������� ������� �������� ����� l, ���������� � ���������
���������� ������� �0 , l � ��� Ox. ������� ���������� ��������� �������
����� ���� ������ �������� u ( x , t ) , �������������� ����� �������� �
������� ������� t ���������� ����� �������, ������� � ���������
                                       16

Страницы