Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɯ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɳɢɯ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ) ɹɜɥɟɧɢɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ
,
U
p, F , u ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ t , ɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1.3), (1.4) ɩɟɪɟɯɨɞɹɬ ɜ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
.F
x
u
p
x
n
i
ii
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¦
1
(1.6)
ɉɪɢ
0
pp
{
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.6) ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ
,ǻ
f
u
(1.7)
ɝɞɟ
.
0
pFf
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.7) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɉɭɚɫɫɨɧɚ, ɚ ɩɪɢ
0
{
f
– ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ Ʌɚɩɥɚɫɚ. Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (1.7) ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹ-
ɸɬ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɵ ɷɥɟɤɬɪɨɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɥɹ ɢ ɩɨɥɹ ɬɹɝɨɬɟɧɢɹ.
2. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɟ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ. ɉɭɫɬɶ
)ss(s
n
,,!
1
– ɜɟɤɬɨɪ, ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵ-
ɦɢ ɰɟɥɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. Ɍɚɤɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɦɭɥɶɬɢɢɧɞɟɤɫɚ. ɑɢɫɥɨ
n
ss !
1
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɥɢɧɨɣ ɦɭɥɶɬɢɢɧɞɟɤɫɚ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɱɟɪɟɡ s .
ɑɟɪɟɡ
x
D ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ
ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɜ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ
n
x,,x !
1
:
,)D,,D(D
n
xxx
!
1
,
ix
xD
i
w
w
.n,,
i
!1
ɋɢɦɜɨɥɨɦ
s
x
D ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ
ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɩɨɪɹɞɤɚ
s : ,
n
n
s
x
s
x
s
x
DDD "
1
1
ɬɚɤ ɱɬɨ
;)(
n
s
n
s
s
s
x
xx
u
xuD
ww
w
"
1
1
ɩɪɢ ɷɬɨɦ, ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ,
)x(u)x(uD
0
. ɂɧɨɝɞɚ ɛɭɞɟɦ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ
ɬɚɤɠɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɥɹ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ:
,
i
x
x
u
u
i
w
w
,
2
2
i
xx
x
u
u
ii
w
w
,
ji
xx
xx
u
u
ji
ww
w
2
n,,
j
,
i
!1
ɢɬ. ɩ.
3. ɉɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɮɭɧɤɰɢɣ
)l,(L 0
2
. ɑɟɪɟɡ )l,(L 0
2
ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚ-
ɱɚɬɶ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ (ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ) ɜɫɟɯ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
)
l,( 0
ɮɭɧɤɰɢɣ
)
(
f
(ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ, ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɡɧɚɱɧɵɯ), ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ
.
f
³
xd)x(f
l
0
2
(1.8)
Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ
)l,(L 0
2
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɫɟ ɤɭɫɨɱ-
ɧɨ-ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
)
l,( 0 ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x(
f
, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɯɨɞɢɬ-
    � ������ ������������ (�� ���� �� ��������� �� �������) �������
������� � , p , F , u �� ������� �� t , � ��������� (1.3), (1.4) ��������� �
���������
                                            n
                                                  � � �u �
                                           ��x
                                           i �1
                                                     �� p
                                                   i �
                                                                 � � �F .
                                                          � x i ��
                                                                             (1.6)

    ��� p � p0 ��������� (1.6) ��������� ���
                                           �u � f,                           (1.7)
��� f � � F p0 . ��������� (1.7) ���������� ���������� ��������, � ���
 f � 0 – ���������� �������. �������, ��� ��������� (1.7) �����������-
�� ���������� ������������������� ���� � ���� ���������.
    2. ��������� �����������, ������������ � ����������. �����
s � ( s1 , � , sn ) – ������, ���������� �������� �������� ��������������-
�� ������ �������. ����� ������ ����� �������� �������������. �����
s1 � � � sn ���������� ������ ������������� � ������������ ����� s .
    ����� D x ����� ���������� ���������� ������, ������������ ��
����������    �����������������    ��    ����������      x1 ,� , x n :
D x � ( D x1 ,� , D xn ), D xi � � � x i , i � 1 ,� , n. �������� D xs ���������
��������� ����������� ������� s : D xs � D xs11 � D xnn , ��� ���
                                                                        s


                                                            s
                                                          � u
                                    D xs u ( x ) �      s1      s
                                                                    ;
                                                     � x1 � � x n n
��� ����, �� �����������, D 0 u ( x ) � u ( x ) . ������ ����� ������������
����� ��������� ����������� ��� ������� �����������:
          �u              � 2u                 � 2u
u xi �        , u xi xi �        , u x  x  �            , i , j � 1 ,� , n
         � xi             � x i2       i j
                                             � xi � x j
� �. �.
      3. ������������ ������� L 2 ( 0 , l ) . ����� L 2 ( 0 , l ) ����� ������-
���� ������������ (������������) ���� ������������ �� ��������� ( 0 , l )
������� f ( x ) (������ ������, �����������������), ��� �������
                                       l

                                      �
                                                     2
                                           f ( x ) d x � �.                  (1.8)
                                       0

    �������, ��� ���������� ������������ L 2 ( 0 , l ) �������� ��� �����-
��-����������� �� ��������� ( 0 , l ) ������� f ( x ) , ��� ������� ������-

                                                   6

Страницы