Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 13 стр.

       Построить пространство решений линейной однородной системы трех
уравнений с четырьмя неизвестными, определить размерность этого
пространства и указать какой-нибудь базис:

        x1 + 4 x 2 − 3 x 3 − 9 x 4 = 0,
       
       3 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 0,
        x + 18 x − 16 x − 37 x = 0.
        1         2        3        4


       Решение:
       С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
системы. Для этого приведём матрицу к трапециевидному виду, число
ненулевых строк в трапециевидной матрице будет равна рангу матрицы.
                            (-3) (-1)
1 4   −3 −9                         1 4     −3 −9           1 4     − 3 − 9
                            +                                              
3 − 2 4   1                     + ∼  0 − 14 13   28     + ∼  0 − 14 13  28 .
1 18 − 16 − 37                       0 14   − 13 − 28      0 0     0   0 
                                                             

       Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые
строки. Значит, ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то
система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r = 4 – 2 = 2
параметров. Базисный минор – это отличный от нуля минор, порядок которого
                                1 4
равен рангу матрицы. Пусть d =         = − 14 ≠ 0 – базисный минор. Тогда x1 и х2
                                3 −2
– базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный
минор, x3 и х4 – параметры. Обозначим x3 = С1, х4 = С2 и выразим базисные
неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения:

        x1 + 4 x 2 = 3C1 + 9C 2 ,
       
       3 x1 − 2 x 2 = −4C1 − C 2 .

       Решим эту систему с помощью формул Крамера.

              3C1 + 9C 2       4
       d1 =                      = −2(3C1 + 9C 2 ) − 4(− 4C1 − C 2 ) =
              − 4C1 − C 2     −2

                                   = −6C1 − 18C 2 + 16C1 + 4C 2 = 10C1 − 14C 2 ;

               4 3C1 + 9C 2
       d2 =                   = 4(− 4C1 − C 2 ) − (−2)(3C1 + 9C 2 ) =
              − 2 − 4C1 − C 2


                                                                                   13