Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

б) угол между векторами
ACAB и ;
в) объем пирамиды АВСD;
г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС;
д) уравнение прямой АВ;
е) уравнение плоскости ВСD.
А
(3; – 2; 2), В (1; – 3; 1), С (2; 0; 4), D (6; – 4; 6).
Решение:
Найдем координаты векторов
А
В ,
А
С ,
А
D :
()()
(
)
;1;1;221;23;31 −−−=−−−−−=АВ
()()
(
)
;2;2;124;20;32 −=−−−−=АС
()()
(
)
.4;2;326;24;36 −=−−−−−=АD
а) Длины ребер АВ и АС найдем как длины векторов
А
В и
А
С :
6)1()1()2(
222
=−+−+−=AB , 3922)1(
222
==++−=AC ,
т.е.
6=AB (ед.), 3
=
АС
(ед.).
б) Угол между векторами
A
B и
AC
найдём, используя скалярное
произведение векторов:
,,cos
ACAB
ACAB
ACAB
⋅
⋅
=
∧
,6336 =⋅=⋅ ACAB
(
)
(
)()
;2212112 −=⋅−+⋅−+−⋅−=⋅ ACAB
.
63
2
,cos
−
=
∧
ACAB
в) Объём пирамиды равен 61 объёма параллелепипеда, построенного на
векторах
ACAB, и
D , как на сторонах. Объём параллелепипеда найдём,
используя смешанное произведение векторов:
15
      б) угол между векторами AB и AC ;
      в) объем пирамиды АВСD;
      г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС;
      д) уравнение прямой АВ;
      е) уравнение плоскости ВСD.
       А (3; – 2; 2), В (1; – 3; 1), С (2; 0; 4), D (6; – 4; 6).

      Решение:
      Найдем координаты векторов АВ , АС , АD :

       АВ = (1 − 3; − 3 − (− 2 ) ; 1 − 2 ) = (− 2; − 1; − 1) ;

       АС = (2 − 3; 0 − (− 2 ) ; 4 − 2 ) = (− 1; 2; 2 ) ;

       АD = (6 − 3; − 4 − (− 2 ) ; 6 − 2 ) = (3; − 2; 4 ).


      а) Длины ребер АВ и АС найдем как длины векторов АВ и АС :

         AB = (−2) 2 + (−1) 2 + (−1) 2 = 6 ,            AC = (−1) 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3 ,

        т.е. AB = 6 (ед.), АС = 3 (ед.).


       б) Угол между векторами AB и AC найдём, используя скалярное
произведение векторов:

               ∧     AB ⋅ AC
       cos  AB , AC  =         ,
                       AB ⋅ AC


       AB ⋅ AC = 6 ⋅ 3 = 3 6 ,          AB ⋅ AC = −2 ⋅ (− 1) + (− 1) ⋅ 2 + (− 1) ⋅ 2 = −2;

               ∧     −2
       cos  AB , AC  =   .
                     3 6


       в) Объём пирамиды равен 1 6 объёма параллелепипеда, построенного на
векторах AB, AC и AD , как на сторонах. Объём параллелепипеда найдём,
используя смешанное произведение векторов:

                                                                                             15

Страницы