ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
Тема 1. ЛОГИЦИЗМ
Понятия классической и неклассической логики возникают
одновременно. На рубеже ХIХ–ХХ вв. в логике происходит рево-
люция: для анализа логических структур применяются математи-
ческие методы, оформляется целое направление – логицизм, пред-
ставители которого утверждали, что логика имеет приоритет пе-
ред математикой. Стремясь обосновать математику посредством
сведения исходных понятий логики и математики
, логицисты ут-
верждали, что это не разные дисциплины, а две ступени в разви-
тии одной науки, так как математика может быть полностью вы-
ведена из «чистой логики». Математики рассчитывали на то, что
это позволит установить истинную природу математики. Мысль о
сведении математики и логики вовсе не была новой. О ней
сооб-
щается еще в произведениях Г. Лейбница, где утверждается, что
идеи и принципы математики лежат в основе любой другой нау-
ки. Именно в связи с этими предположениями Г. Лейбниц вводит
математические исчисления задолго до Дж. Буля
3
. Так, математи-
ка для Лейбница представляла собой частный случай применения
логики.
С середины XIX в., в связи с появлением понятия «матема-
тическое доказательство», создается возможность обогащения
аристотелевской логики. Интерес усиливается с открытием не-
евклидовой геометрии и введением понятия «парадокс» в матема-
тике в конце XIX в. В связи с этим нормы аристотелевской
логики
повсеместно пересматриваются, подвергаются тщательному ана-
лизу и критике: Дж. Буля (1815–1864), А. де Моргана (1806–1871),
Ч. Пирса (1839–1914), Г. Фреге (1848–1925), Б. Рассела (1872–
1870), А. Уайтхеда (1861–1947), Г. Гильберта (1862–1943). Для
обоснования логицизма предпринимаются попытки сведения к
понятиям логики всех исходных понятий математики. Г. Фреге
проблеме логического обоснования чистой математики посвящает
книгу «Основные законы математики». В
начале ХХ в. происхо-
дит арифметизация действительных чисел и других систем объек-
тов большой мощности, что приводит к пониманию бесконечной
совокупности как одного объекта, а множества всех таких объек-
6
тов – как новой совокупности. Данное положение стало основой
пересмотра канторовской теории множеств.
Появление концепции логицизма в математике – вполне объ-
яснимое явление. Именно в математике логические методы игра-
ют действительно первостепенное значение, ведь любая матема-
тическая теорема выводится из принятых заранее аксиом сугубо
логическим путем. После в работах таких логицистов, как Р
. Де-
декинд и Ф. Рамсей, основным аргументом в пользу сведения ма-
тематики и логики выступало раскрытие роли дедуктивного рас-
суждения и обобщения аналитических предложений в математи-
ке. Теорией данного рассуждения в процессе обобщения объявля-
лась логика.
Георг Кантор (1845–1918). Родился в Петербурге. Является
основоположником теории множеств. Ему принадлежит огром-
ный вклад в развитие теории трансфинитных (бесконечных) чисел.
Сформулировал понятие множества множеств и разъяснил его
как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному
множеству. Нашел принцип сравнения множеств. Установил, что
множество всех целых чисел, множество всех
рациональных чи-
сел и множество всех алгебраических чисел имеют одинаковую
мощность и потому между ними можно установить взаимоодно-
значные соответствия.
Кантор ввел понятия «множество» и «элемент». Множество
– это любое собрание определенных и различимых объектов, что
мыслимо как единое целое, но элементы различны. Множества
были поделены на конечные и бесконечные. Когда
речь идет о
конечных множествах, вопрос об отличии его от другого не воз-
никает, но как отличить одно бесконечное множество от другого
бесконечного? Существует ли одно бесконечное множество или
можно говорить о бесконечности различной степени? Для того
чтобы сравнить бесконечные множества по величине, Кантор вво-
дит понятие «мощность множества». Два множества
имеют оди-
наковую мощность, если элементы одного сопоставимы с элемен-
тами другого множества так, что образует с ними пары соответст-
вующих элементов. Такое отношение между множествами назы-
ваются одно-однозначным соответствием. Другими словами, это
Тема 1. ЛОГИЦИЗМ тов – как новой совокупности. Данное положение стало основой
пересмотра канторовской теории множеств.
Понятия классической и неклассической логики возникают Появление концепции логицизма в математике – вполне объ-
одновременно. На рубеже ХIХ–ХХ вв. в логике происходит рево- яснимое явление. Именно в математике логические методы игра-
люция: для анализа логических структур применяются математи- ют действительно первостепенное значение, ведь любая матема-
ческие методы, оформляется целое направление – логицизм, пред- тическая теорема выводится из принятых заранее аксиом сугубо
ставители которого утверждали, что логика имеет приоритет пе- логическим путем. После в работах таких логицистов, как Р. Де-
ред математикой. Стремясь обосновать математику посредством декинд и Ф. Рамсей, основным аргументом в пользу сведения ма-
сведения исходных понятий логики и математики, логицисты ут- тематики и логики выступало раскрытие роли дедуктивного рас-
верждали, что это не разные дисциплины, а две ступени в разви- суждения и обобщения аналитических предложений в математи-
тии одной науки, так как математика может быть полностью вы- ке. Теорией данного рассуждения в процессе обобщения объявля-
ведена из «чистой логики». Математики рассчитывали на то, что лась логика.
это позволит установить истинную природу математики. Мысль о
сведении математики и логики вовсе не была новой. О ней сооб- Георг Кантор (1845–1918). Родился в Петербурге. Является
щается еще в произведениях Г. Лейбница, где утверждается, что основоположником теории множеств. Ему принадлежит огром-
идеи и принципы математики лежат в основе любой другой нау- ный вклад в развитие теории трансфинитных (бесконечных) чисел.
ки. Именно в связи с этими предположениями Г. Лейбниц вводит Сформулировал понятие множества множеств и разъяснил его
математические исчисления задолго до Дж. Буля3. Так, математи- как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному
ка для Лейбница представляла собой частный случай применения множеству. Нашел принцип сравнения множеств. Установил, что
логики. множество всех целых чисел, множество всех рациональных чи-
С середины XIX в., в связи с появлением понятия «матема- сел и множество всех алгебраических чисел имеют одинаковую
тическое доказательство», создается возможность обогащения мощность и потому между ними можно установить взаимоодно-
аристотелевской логики. Интерес усиливается с открытием не- значные соответствия.
евклидовой геометрии и введением понятия «парадокс» в матема- Кантор ввел понятия «множество» и «элемент». Множество
тике в конце XIX в. В связи с этим нормы аристотелевской логики – это любое собрание определенных и различимых объектов, что
повсеместно пересматриваются, подвергаются тщательному ана- мыслимо как единое целое, но элементы различны. Множества
лизу и критике: Дж. Буля (1815–1864), А. де Моргана (1806–1871), были поделены на конечные и бесконечные. Когда речь идет о
Ч. Пирса (1839–1914), Г. Фреге (1848–1925), Б. Рассела (1872– конечных множествах, вопрос об отличии его от другого не воз-
1870), А. Уайтхеда (1861–1947), Г. Гильберта (1862–1943). Для никает, но как отличить одно бесконечное множество от другого
обоснования логицизма предпринимаются попытки сведения к бесконечного? Существует ли одно бесконечное множество или
понятиям логики всех исходных понятий математики. Г. Фреге можно говорить о бесконечности различной степени? Для того
проблеме логического обоснования чистой математики посвящает чтобы сравнить бесконечные множества по величине, Кантор вво-
книгу «Основные законы математики». В начале ХХ в. происхо- дит понятие «мощность множества». Два множества имеют оди-
дит арифметизация действительных чисел и других систем объек- наковую мощность, если элементы одного сопоставимы с элемен-
тов большой мощности, что приводит к пониманию бесконечной тами другого множества так, что образует с ними пары соответст-
совокупности как одного объекта, а множества всех таких объек- вующих элементов. Такое отношение между множествами назы-
ваются одно-однозначным соответствием. Другими словами, это
5 6
