Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 4 стр.

эквивалентные множества, когда каждый элемент одного являет-             Однако идея логицистов не смогла получить успешного раз-
ся и элементом другого множества, они состоят из одних и тех же   вития. Б. Рассел обнаружил в системе Г. Фреге неразрешимое про-
элементов. Одно-однозначное соответствие характеризуется сим-     тиворечие, впоследствии названное «парадоксом Рассела». Еще в
метричностью, рефлексивностью и транзитивностью и потому          письме Рассел излагал, что множества делятся на: 1) множество,
эквивалентно.                                                     не содержащие себя в качестве элемента собственного множест-
      Опираясь на абстракцию абсолютной, завершенной беско-       ва; 2) множество, содержащее себя в качестве элемента несобст-
нечности, Кантор отметил, что мощность континуума (непрерыв-      венного множества.
ное образование, такое, как совокупность всех точек отрезка,             Узнав об этом, Г. Фреге отказался от дальнейших попыток
множество всех действительных чисел и т. д.) действительных       изложить идею чистого логического обоснования чистой матема-
чисел больше мощности счетного множества, и сформулировал         тики. Парадокс Рассела поразил математиков. Под угрозой оказа-
вопрос: существует ли множество более мощное, чем множество       лись основания математики и сама формальная логика, частью
всех целых чисел, но менее мощное, чем множество всех дейст-      которой был парадокс Рассела. Математическое сообщество рас-
вительных чисел.                                                  кололась на три части.
      В начале ХХ в., еще при жизни Кантора, в связи с обнару-           Одни математики решили, что при рассмотрении множеств
жением парадоксов в его теории множеств доверие к ней было        нельзя просто полагаться на интуицию, хотя множество является
подорвано. Усилиями Б. Рассела, А. Уайтхеда, Л. Бауэра, А. Гей-   фундаментальным понятием математики и человеческого мыш-
тинга, Г. Вейля, Е. Цермело и др. появляется новая теория мно-    ления. Другие – стали отвергать всю теорию множества, называя
жеств, которая и предлагает глобальный пересмотр всех рацио-      ее ошибочной и несостоятельной. Третьи – предложили исходить
нальных основ науки. В результате этих пересмотров и перенесе-    из того, что парадоксы не затрагивают теории множеств по той
ния в логику математических методов анализа оформляется цель-     причине, что они возникают из-за определений и рассуждений,
ная, стройная логическая теория, которая позже ученое сообще-     искажающих математическую интуицию и существенно отли-
ство назовет классической, основное назначение которой – ана-     чающихся от правомочных выводов, обычно применяемых в ма-
лиз математических рассуждений. Классическая логика сегодня       тематике. На основе именно этого подхода начинается работа по
определяется как раздел современной логики и включает в себя      уточнению тех представлений, которые лежат в основе теории
классическую логику высказываний и логику предикатов, опи-        множеств, и более четкому определению тех рассуждений, кото-
рающихся на принцип двузначности, в соответствии с которым        рые ведут к антиномиям. Самым подходящим оказался аксиома-
всякое высказывание является или истинным, или ложным.            тический метод4, который возникает в 1908 г. на основе двух ак-
      В начале ХХ в. обоснованием логицизма занялся Б. Рассел.    сиоматических систем, разработанных Б. Расселом и Е. Цермело
В 1903 г., сначала в письме Фреге, а после в работе «Принципы     независимо друг от друга.
математики» Рассел выступает с доказательством, что сведение             Самого же Рассела его парадокс не смог заставить отказать-
математики к логике вполне возможно и что это обосновывается      ся от идей логицизма. Он только изменил тактику обоснования.
всей историей науки и философии. Свою завершенную форму           Во избежание парадоксов в процессе осуществления логицисти-
логицизм находит в трехтомном труде «Принципы математики»         ческого тезиса, Рассел и Уайтхед вводят теорию типов5. Рассел
(1910–1913) Б. Рассела и А. Уайтхеда. Основную цель своего тру-   предложил обозначить каждый логический объект некоторым
да авторы видели в разработке целой системы символической ло-     неотрицательным числом, тем самым установить тип данного
гики, которая исчерпывающим образом раскрывала бы логиче-         объекта и расположить все логические объекты по своим местам
ские зависимости между математическими объектами.                 в иерархии типов. Суть теории в том, что никакое множество не

                              7                                                                  8