Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 5 стр.

должно содержать такие элементы, которые определялись бы в          математики с помощью сравнительно простой унифицированной
терминах самого множества. Другими словами, логический тип          системы аксиом и правил вывода.
множества всегда должен быть выше типа его элементов. Соглас-             Все те работы и открытия, которые возникают позже, под-
но теории типов, функция может иметь в качестве аргумента           вергая жесткой критике как математические методы анализа, так
лишь объекты, которые предшествуют ей в этой иерархии. Так, х       и их результаты, подпадают под определение неклассической
есть элемент у тогда и только тогда, когда тип у на единицу боль-   логики. В 1907–1908 гг. голландский математик, основатель ин-
ше типа х. Однако при разработке теории типов ее авторам при-       туиционистской математики Лейтзен Эгберт Ян Брауэр (1881–
шлось ввести, например, аксиому бесконечности, что вывело их        1966) высказал идею о неприменимости закона исключенного
за пределы логики, так как аксиома бесконечности не является        третьего в рассуждениях о бесконечных множествах.
чисто логической аксиомой.                                                В 1912–1918 гг. американский логик Кларенс Ирвинг Лью-
      Так, логика стала развиваться за рамками силлогистическо-     ис (1883–1964), основоположник концептуалистического прагма-
го ряда, и, кроме суждения «все люди смертны», стала возможна       тизма, разработал модальную логику и применил ее к формализа-
его численная форма «два человека смертны». Как писал Френк         ции логического исследования. В книге «Очерки символической
Пламптон Рамсей, Рассел и Уайтхед доказали, что математика          логики» он изложил исчисление, в которое вводилось новое поня-
является частью логики. Все идеи чистой математики могут быть       тие «строгая импликация».
не определены явно в математических терминах, а включены в                Позже были разработаны аксиоматические системы мо-
сложную мысль любого описания. Все пропозиции математики            дальной логики Курта Геделя (1906–1978), Альфреда Тарского
могут быть выведены из пропозиции формальной логики.                (1902–1983), Герхарда Генцена (1909–1945) и др.
      Тем не менее в целом логицизм остался в истории как не              В 1920 г. поляк Ян Лукасевич (1879–1956) создает трех-
совсем удавшаяся попытка сведения логики с математикой. Со-         значную, четырехзначную, многозначную логику. Год спустя сис-
ветский логик Д.А. Бочвар писал: математика не выводима из          тему многозначной логики независимо от Лукасевича разрабаты-
формальной логики, так как для построения математики необхо-        вает американец Э.Л. Пост (1897–1954).
димы аксиомы, которые устанавливают определенные факты, а                 В 1925 г. советский математик и логик Андрей Николае-
такие аксиомы обладают уже внелогической природой [4, 382].         вич Колмогоров (1903–1987) в статье «О принципе tertium non
Американский логик А. Черч по проблемам логицизма высказы-          datur» доказывал, что интуиционистская логика может быть ис-
вался также без энтузиазма, утверждая, что попытки свести мате-     толкована как исчисление задач, так как в задаче говорится о по-
матику к логике удались не более чем наполовину [24]. Америка-      строении (конструировании) объекта (а не об объективной истин-
нец Х. Карри называл понятие «логицизм» расплывчатым, так как       ности или ложности предложения). Это обоснование открыло путь
термин «чистая логика», с которой связан логицизм, сам не опре-     к созданию конструктивной логики. Так, классическая арифмети-
делен и нарушает закон: определение должно быть ясным, четким       ка может быть переведена на интуиционистский язык, и он ско-
однозначным (ошибка: «определение неизвестного через неиз-          рее обосновывает, чем опровергает, арифметику. Стало возможно
вестное»).                                                          по-другому взглянуть на аксиомы арифметики6.
      Однако логики и математики не склонны отрицать все ре-              В 1928–1929 гг. советский логик и математик Василий Ива-
зультаты логицизма. Так, А. Черч утверждает его пользу в двух       нович Гливенко (1896–1940) сформулировал систему аксиом
следующих моментах: сведение математического словаря к не-          интуиционистского исчисления высказываний. В 1936 г. К. Бирк-
ожиданно краткому перечню основных понятий, которые принад-         гоф (1884–1944) выступает с работами по логике квантовой ме-
лежат словарю чистой логики, и обоснование всей существующей

                               9                                                                  10