Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 68 стр.

числа, то можно получить не решение системы, а значения аргумента, дающие
относительный экстремум функции). МИ применяется также почти исключительно для
уточнения решений. МН требует большего объема вычислений, чем МИ, но и сходится
значительно быстрее при подходящем выборе нач. приближения.

      Пример 1.
      Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы:
      x2 + y 2 + z 2 = 1
      2 x2 + y 2 − 4 z 2 = 0
      3x 2 − 4 y + z 2 = 0
      Исходя из начального приближения x0 = y0 = z0 = 0,5
      Решение:
      Имеем
              ⎛ x 2 + y 2 + z 2 − 1⎞
        r ⎜                        ⎟
      F(x) = ⎜ 2 x 2 + y 2 − 4 z 2 ⎟ ,
              ⎜ 3x 2 − 4 y + z 2 ⎟
              ⎝                    ⎠
              ⎛ 0, 25 + 0, 25 + 0, 25 − 1⎞ ⎛ −0, 25 ⎞
        r (0) ⎜                          ⎟ ⎜          ⎟
      F(x ) = ⎜ 0,5 + 0, 25 − 2          ⎟ = ⎜ −1, 25 ⎟
              ⎜ 0, 75 − 2 + 0, 25        ⎟ ⎜ −1 ⎟
              ⎝                          ⎠ ⎝          ⎠

      Составим матрицу Якоби
               ⎛ ∂ f1 ∂ f1 ∂ f1 ⎞
               ⎜                 ⎟
               ⎜ ∂x ∂y      ∂z ⎟
                                     ⎛ 2x     2 y 2z ⎞
         r ⎜ ∂ f2 ∂ f2 ∂ f2 ⎟ ⎜                       ⎟
      F′(x) = ⎜                  ⎟ = ⎜ 4x     2 y −4 ⎟
                  ∂ x ∂ y   ∂ z  ⎟ ⎜ 6x
               ⎜                              −4 2 z ⎟⎠
               ⎜ ∂ f3 ∂ f3 ∂ f3 ⎟ ⎝
               ⎜⎜ ∂ x ∂ y        ⎟
                            ∂ z ⎟⎠
                ⎝
                                  ⎛1 1         1⎞
         r (0)                    ⎜               ⎟
      F′(x ) = F′(0,5;0,5;0,5) = ⎜ 2 1         −4 ⎟
                                  ⎜ 3 −4       1 ⎟⎠
                                  ⎝
                   1       1   1
             r (0)
      det F′(x ) = 2       1   −4 = −40
                 3 −4 1
      Находим обратную матрицу
                                            ⎛ 3    1  1 ⎞
                                            ⎜ 8    8  8 ⎟
                              ⎛ −15 −5 −5 ⎞ ⎜            ⎟
                          1                   7    1   3 ⎟
      ⎡⎣ F′(x (0) ) ⎤⎦ = − ⎜ −14 −2 6 ⎟ = ⎜
            r         −1

                          40 ⎜⎜           ⎟ ⎜ 20 20 − 20 ⎟
                                          ⎟
                              ⎝ −11 7 −1 ⎠ ⎜ 11     7 1 ⎟
                                                         ⎟
                                            ⎜    −
                                            ⎜            ⎟
                                            ⎝ 40   40 40 ⎠
      Пользуясь формулой (5) из лекции, получим первое приближение




                                                                            68