Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 66 стр.

                                      ⎛ ∂ f1       ∂ f1         ∂ f1 ⎞
                                      ⎜∂x                   ...
                                                   ∂ x2         ∂ xn ⎟
                                      ⎜ 1                             ⎟
                                      ⎜ ∂ f2       ∂ f2         ∂ f2 ⎟
                                      ⎜∂x                   ...           ⎛∂ f        ⎞
                              W (x) = ⎜ 1          ∂ x2         ∂ xn ⎟⎟ = ⎜ i        ⎟⎟           (5)
                                                                          ⎜∂x
                                      ⎜ ...         ...     ... ... ⎟ ⎝ j             ⎠
                                      ⎜                               ⎟
                                      ⎜ ∂ fn       ∂ fn
                                                            ...
                                                                ∂ fn ⎟
                                      ⎜∂x          ∂ x2         ∂ xn ⎟⎠
                                      ⎝ 1
Подставив φ(x) в (3) , получим итерационную формулу
                                         x( p +1) = x( p ) + Λf (x ( p ) )                        (6)
Удобно использовать аналог метода Зейделя.
⎧ x1( k +1) = ϕ1 ( x1( k ) , x2 ( k ) ,..., xn ( k ) ),
⎪ ( k +1)             ( k +1)
            = ϕ 2 ( x1 , x2 ,..., xn ),
                                     (k )           (k )
⎪ x2
⎨
⎪.................................
⎪ x ( k +1) = ϕ ( x ( k +1) , x ( k +1) ,..., x ( k ) ),
⎩ n              n   1             2                 n



      4.2 Метод Ньютона.
Рассматриваем нелинейную систему уравнений
                                          ⎧ f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0,
                                          ⎪ f ( x , x ,..., x ) = 0,
                                          ⎪ 2 1 2                 n
                                          ⎨                                                       (1)
                                          ⎪...............................
                                          ⎪⎩ f n ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0

с действительными левыми частями. Более компактная запись (1):
                             r           r           r               r
                           F(x) = ( f1 ( x ) , f 2 ( x ) ,..., f n ( x ) ) = 0   (2)
               r
       Пусть F(x) – оператор, отображающий линейное нормированное пространство Х
на линейное нормированное пространство У. Линейный оператор, действующий из
                                                                               r  r
пространства Х в пространство У, назовем производной оператора F(x) в точке x ,
если
                              r r                     r r
                                                                             ( )
                                           r                              r
                           F(x + h) − F(x) − F′(x) h = o h                       (3)
                                                                   Y             X
    r
при h        →0,
         X


                                       ⎛ ∂ f1     ∂ f1               ∂ f1 ⎞
                                       ⎜ ∂x                 ...
                                                  ∂ x2               ∂ xn ⎟
                                       ⎜ 1                                 ⎟
                                       ⎜ ∂ f2    ∂ f2                ∂ f2 ⎟
                                  r ⎜                        ...               ⎛∂ f ⎞
                               F′(x) = ⎜ ∂ x1    ∂ x2                ∂ xn ⎟⎟ = ⎜ i ⎟           (*)
                                                                               ⎜∂x ⎟
                                       ⎜ ...        ... ... ... ⎟              ⎝   j ⎠

                                       ⎜                                   ⎟
                                       ⎜ ∂ fn    ∂ fn
                                                             ...
                                                                     ∂ fn ⎟
                                       ⎜ ∂x      ∂ x2                ∂ xn ⎟⎠
                                       ⎝ 1
            r                                                  r                             r
      Пусть x ∗ – решение уравнения (2), x ( k ) – некоторое приближение к x ∗ . В
предположении существования производной F′ , согласно (3) имеем
                   r         r              r           r r
                                                                       Y
                                                                             (
                 F(x ∗ ) − F(x ( k ) ) − F′(x ( k ) ) ( x ∗ − x ( k ) ) = o x ∗ − x ( k )
                                                                                 r r
                                                                                          ,.
                                                                                          X
                                                                                              )(4)
                                                                                                  66