Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 65 стр.

       2 x 2 − xy − 5x + 1 = 0,
       x + 3 lg x − y 2 = 0
       Ответ: x = 3,487, y = 2,262
       2. Найти корни системы
                               2 x 2 − xy − y 2 + 2 x − 2 y + 6 = 0,
                              y − x −1= 0
       расположенные в области , ограниченной прямыми
       y = 0, y = x , x = 0,5
       Ответ: x=1,000, y=2,000.

       4. Итерационные методы для системы с n нелинейными уравнениями.
       4.1 Метод простой итерации
    Пусть дана система нелинейных уравнений вида:

                                        ⎧ x1 = ϕ1 ( x1 , x2 ,..., xn ),
                                        ⎪ x = ϕ ( x , x ,..., x ),
                                        ⎪ 2        2    1    2        n
                                        ⎨                                                 (1)
                                        ⎪.................................
                                        ⎪⎩ xn = ϕ n ( x1 , x2 ,..., xn ),

где функции ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ n действительны и определены в некоторой окрестности ω
изолированного решения ( x1∗ , x2∗ ,..., xn∗ ) этой системы, или в более компактной записи:

                                                   x = φ(x) ,                             (2)

        ⎛ x1 ⎞           ⎛ ϕ1 (x) ⎞
        ⎜ ⎟              ⎜
        ⎜  x2 ⎟          ⎜  ϕ 2 (x) ⎟⎟
где x =         , φ(x) =               .
        ⎜ ... ⎟          ⎜ .... ⎟
        ⎜⎜ x ⎟⎟          ⎜⎜ ϕ (x) ⎟⎟
         ⎝ n⎠             ⎝ n ⎠
Для нахождения вектор-корня иногда можно использовать метод итераций
                                  x ( p +1) = φ(x ( p ) )   ( p = 0,1, 2,...)             (3)

       Если система уравнений задана в общем виде
                                                   f ( x) = 0 ,                           (4)
где f (x) – вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности ω
изолированного вектор-корня x∗ , то ее записывают в эквивалентном виде (2), где φ(x)
– итерирующая вектор-функция, которую ищут в виде
                                  φ(x) = x + Λf (x) .
Матрица Λ выбирается так
                                    Λ = − W −1 (x(0) ) .
Предполагается, что матрица W(x (0) ) – неособенная.




                                                                                              65