Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 64 стр.

                            ∂ ϕ1 ∂ ϕ1 x 2 y 2 25 36 + 1 4 34
                                +    =   +   <           =    <1
                             ∂x   ∂y   2   2      2        72
                            ∂ ϕ2 ∂ ϕ2   x2    y2   34
                                +     =    +−    <    <1
                             ∂x   ∂y    2     2    72
      Следовательно, существует единственное решение в указанном прямоугольнике
и оно может быть найдено методом итераций. Полагая x 0 = 1 2 , y 0 = 1 2 , будем
иметь
                                  1 1 8+1 8                             1 0,19615
                            x1 = +                   = 0,542,     x2 = +            = 0,533,
                                  2        6                            2        6
                                  1 1 8−1 8                             1 0,1223
                            y1 = +                   = 0,333,     y2 = +           = 0,354.
                                  3        6                            3       6
      Продолжая этот процесс получим
       x 3 = 0,533, x 4 = 0,532, y 3 = 0,351, y 4 = 0,351 .
      Так как здесь q1 = q 2 = 34 72 < 0,5 , то совпадение первых трех десятичных
знаков свидетельствует о достижении требуемой точности. Таким образом, можно
принять ξ = 0,532, η = 0,351 .
      Замечание. Вместо рассмотренного на лекции итерационного процесса (3)
иногда удобнее пользоваться так называемым процессом Зейделя:
       x n +1 = ϕ 1( x n , y n ), y n +1 = ϕ 2 ( x n +1 , y n ) (n = 0,1,2,...)

       Пример 2
              Выбрать подходящие итерирующие функции ϕ 1( x , y ), ϕ 2 ( x , y ) при
       для системы уравнений x 0 = 0,8, y 0 = 0,55 :
                                                x 2 + y 2 − 1 = 0,
                                                x 3 − y = 0.
       Решение:
       Будем искать функции ϕ 1( x , y ), ϕ 2 ( x , y) в виде
                              ϕ 1( x , y ) = x + α ( x 2 + y 2 − 1) + β ( x 3 − y ),
                                  ϕ 2 ( x , y ) = x + γ ( x 2 + y 2 − 1) + δ ( x 3 − y ).
       Для определения параметров α , β , γ , δ составим систему (5)(см. лекции). Имеем
       ∂ F1          ∂ F1 ( x 0 , y 0 )           ∂ F1            ∂ F1 ( x 0 , y 0 )
            = 2 x,                      = 1,6,          = 2 y,                       = 11,,
        ∂x                ∂x                       ∂y                  ∂y
       ∂ F2           ∂ F2 ( x 0 , y 0 )             ∂ F2             ∂ F2 ( x 0 , y 0 )
            = 3x 2 ,                      = 1,92,            = −1,                       = −1.
        ∂x                  ∂x                        ∂y                    ∂y
       Отсюда получаем систему
                                            1 + 1,6α + 1,92 β = 0,
                                                ,α −
                                               11        β = 0,
                                               1,6γ + 1,92δ = 0,
                                                 , γ − δ = 0.
                                            1 + 11
       Решая, получим
                               α ≈ −0,3, γ ≈ −0,5, β ≈ −0,3, δ ≈ 0,4
       Таким образом ,
                              ϕ 1( x , y ) = x − 0,3( x 2 + y 2 − 1) − 0,3( x 3 − y )
                              ϕ 2 ( x , y ) = y − 0,5( x 2 + y 2 − 1) + 0,4( x 3 − y )
       Упражнения:
       1. Найти для системы положительные корни с тремя верными знаками
                                                                                           64