Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 62 стр.

      3. Метод простой итерации для системы двух уравнений
      Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:
                                            ⎧ F1 ( x, y ) = 0,
                                            ⎨                                   (1)
                                            ⎩ F2 ( x, y ) = 0,
действительные корни которых требуется найти с заданной степенью точности.
          Предположим, что система (1) допускает лишь изолированные корни. Число
этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые
F1 ( x, y ) = 0, F2 ( x, y ) = 0 и определив координаты точек их пересечения .
          Для применения метода итерации система (1) приводится к виду
                                            ⎧ x = ϕ1 ( x, y ),
                                            ⎨                                   (2)
                                            ⎩ y = ϕ 2 ( x, y ).
       Функции ϕ1 ( x, y ), ϕ 2 ( x, y ) называются итерирующими. Алгоритм решения
задается формулами
                           ⎧⎪ xn +1 = ϕ1 ( xn , yn ),
                            ⎨                                                   (3)
                            ⎪⎩ yn +1 = ϕ 2 ( xn , yn )    ( n = 0,1, 2,...) ,
где x0 , y0 – некоторое начальное приближение.
Теорема
Пусть в некоторой замкнутой окрестности R ( a ≤ x ≤ A, b ≤ y ≤ B ) имеется одно и
только одно решение x = ξ , y = η системы (2). Если
1) функции ϕ1 ( x, y ), ϕ 2 ( x, y ) определены и непрерывно дифференцируемы в R,
2) начальные приближения x0 , y0 и все последующие приближения xn , yn (n=1,2,…)
   принадлежат R.
3) в R выполнены неравенства
                                     ⎧ ∂ ϕ1 ∂ ϕ 2
                                     ⎪      +       ≤ q1 < 1,
                                     ⎪ ∂x      ∂x
                                     ⎨                                          (4)
                                     ⎪ ∂ ϕ1 + ∂ ϕ 2 ≤ q < 1,
                                     ⎪ ∂y     ∂y
                                                       2
                                     ⎩
то процесс последовательных приближений (3) сходится к решению x = ξ , y = η
системы, т.е.
                           lim xn = ξ и lim yn = η .
                                  n →∞                   n →∞

Эта теорема остается верной, если условие (4) заменить условием (4’).
                                     ⎧ ∂ ϕ1 ∂ ϕ1
                                     ⎪       +       ≤ q1 < 1,
                                     ⎪ ∂x      ∂y
                                     ⎨                                          (4’)
                                     ⎪ ∂ ϕ 2 + ∂ ϕ 2 ≤ q < 1,
                                     ⎪ ∂x       ∂y
                                                         2
                                     ⎩
      Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством
                                         M
                      ξ − xn + η − yn ≤
                                        1− M
                                             ( xn − xn−1 + yn − yn−1 ) ,


                                                                                 62