Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 61 стр.

считать m =0. Когда x0 ≠ x * , но x0 близко к x * , то разность x0 − ϕ ( x0 ) будет иметь
малое значение, и m может быть взята малой величиной.
       Неравенство (7) налагает на δ , q, m ограничение достаточное для того, чтобы
были верны утверждения теоремы 1.

       Теорема 2. О единственности решения
       На всяком множестве точек, где для функции          ϕ ( x) выполняется условие
                                ϕ ( x) − ϕ ( y ) < x − y , x ≠ y ,
       уравнение x = ϕ ( x) может иметь не более одного решения.




      Пример.
      Найдем по методу итераций с пятью значащими цифрами наименьший
положительный корень уравнения
                                           1
                                    cos x − sin x = 0                                   (1*)
                                           x
       Решение
       Заменим уравнение (1*) эквивалентным ему уравнением
                                          x = tg x ,                                    (2*)

и построив графики функций y1 = x,           y2 = tg x (сделать самостоятельно) находим,
что можно взять
                                             3π
                                      x0 =      ≈ 4,7
                                              2
Однако, к уравнению (2*) непосредственно метод итераций применить нельзя, т.к.
при любом значении x
                                                       1
                               ϕ ′( x) = (tg x)′ =           ≥1
                                                     cos 2 x
То есть условие пункта 2 не удовлетворяется. Поэтому перейдем к обратной функции,
т.е. к уравнению
                                        x = arctg x ,                                   (3*)
для которого
                                                    1
                        ϕ ′( x) = (arctg x)′ =          < 1 при        x ≠ 0.
                                                 1 + x2
     Уравнение (3*), которое эквивалентно исходному (1*) решаем при помощи
формулы
                               xn+1 = arctg xn , где        x0 = 4,7
      Итерационный процесс заканчиваем тогда, когда с необходимой точностью
совпадут значения xn , xn+1 . Выполнив вычисления, приведенные в таблице,
получаем x = 4,4934 .
          n            0          1          2          3
          xn           4,7        4,50       4,494      4,4934
           arctg xn     4,50            4,494            4,4934         4,4934


                                                                                         61