Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

60
() ( )
()
()
()
(
)
1
** *
!
m
mm
nn nn
xx x x o
m
ϕ
ϕεϕ ϕ ε ε
=+= + +
Подстановка его в (2) и отбрасывание
(
)
m
n
o
ε
даст следующее соотношение
между
1
n
ε
+
и
n
ε
:
()
()
1
1
*
!
m
m
nn
x
m
ε
ϕε
+
≈ . (4)
Отсюда видно, что
1
n
ε
+
будет малой величиной порядка m относительно
n
ε
.
Теорема 1. О сходимости итерационной последовательности:
Пусть выполняются условия:
1) функция
()
x
определена на отрезке
0
xx
δ
−
≤ , (5)
непрерывна там и удовлетворяет условию Липшица с постоянным коэффициентом,
меньшим единицы:
(
)
() ( ) 0 1xxqxx q
ϕ
ϕ
′
′
−≤− ≤<
; (6)
2) для исходного приближения
0
x
верно неравенство
00
()
x
xm
ϕ
−≤;
3) числа ,,qm
δ
удовлетворяют условию
1
m
q
δ
≤
−
. (7)
Тогда
1)
уравнение (1) в области (5) имеет решение;
2)
последовательность
n
x
приближений, построенная по правилу (2),
принадлежит отрезку (5), является сходящейся
(
)
lim *
n
x
x= , и предел
последовательности
*
x
удовлетворяет уравнению (1);
3)
скорость сходимости
n
x
к *
x
* , 1,2,...
1
n
n
m
xx q n
q
−≤ =
−
(8)
Поясним условия теоремы:
Функция
ϕ
преобразует отрезок
00
xxx
δ
δ
−
≤≤ + числовой оси в
некоторый отрезок той же оси. Возьмем две точки
,
x
x
′
на
[
]
00
,xx
δ
δ
−
+ . Расстояние
между ними есть
x
x
′
−
, а () ( )
x
x
ϕ
ϕ
′
−
есть расстояния между их изображениями.
Отношение
() ( )
x
x
xx
ϕϕ
′
−
′
−
есть коэффициент увеличения этих расстояний при
преобразовании. По условию (6) он не превосходит числа
q , но т.к. q <1, то при
отображении оператором
ϕ
происходит не растяжение, а сжатие всех отрезков с
коэффициентом, не большим
q .
Входящая в условие величина
m связана с близостью начального приближения
0
x
к решению *
x
. Если окажется, что
0
x
= *
x
и, тогда,
00
()0xx
ϕ
−
=
, то можно 
                    ϕ ( xn ) = ϕ ( x * +ε n ) = ϕ ( x *) +
                                                              1 ( m)
                                                              m!
                                                                                  ( )
                                                                ϕ ( x *) ε nm + o ε nm

        Подстановка его в (2) и отбрасывание o                (ε ) даст следующее соотношение
                                                                m
                                                                n
между    ε n+1 и ε n :
                                               1 ( m)
                                     ε n+1 ≈      ϕ ( x *) ε nm .                          (4)
                                               m!
        Отсюда видно, что ε n+1 будет малой величиной порядка m относительно             εn .
        Теорема 1. О сходимости итерационной последовательности:
        Пусть выполняются условия:
        1) функция ϕ ( x) определена на отрезке

                                               x − x0 ≤ δ ,                                (5)

непрерывна там и удовлетворяет условию Липшица с постоянным коэффициентом,
меньшим единицы:
                           ϕ ( x) − ϕ ( x′) ≤ q x − x′          ( 0 ≤ q < 1) ;             (6)

        2) для исходного приближения x0 верно неравенство

    x0 − ϕ ( x0 ) ≤ m ;
        3) числа   δ , q, m удовлетворяют условию
                                                m
                                                    ≤δ .                                   (7)
                                               1− q
        Тогда
        1) уравнение (1) в области (5) имеет решение;
        2) последовательность xn приближений, построенная по правилу (2),
           принадлежит отрезку (5), является сходящейся ( lim xn = x *) , и предел
           последовательности x * удовлетворяет уравнению (1);
        3) скорость сходимости xn к x *

                                             m n
                               x * − xn ≤        q ,          n = 1,2,...                  (8)
                                            1− q
        Поясним условия теоремы:
        Функция ϕ преобразует отрезок        x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ числовой оси в
некоторый отрезок той же оси. Возьмем две точки x, x′ на [ x0 − δ , x0 + δ ] . Расстояние
между ними есть x − x′ , а         ϕ ( x) − ϕ ( x′) есть расстояния между их изображениями.
                ϕ ( x) − ϕ ( x′)
Отношение                           есть коэффициент увеличения этих расстояний при
                     x − x′
преобразовании. По условию (6) он не превосходит числа q , но т.к. q <1, то при
отображении оператором ϕ происходит не растяжение, а сжатие всех отрезков с
коэффициентом, не большим q .
      Входящая в условие величина m связана с близостью начального приближения
x0 к решению x * . Если окажется, что x0 = x * и, тогда, x0 − ϕ ( x0 ) = 0 , то можно
                                                                                            60

Страницы