Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 70 стр.

UptoLike

Составители: 

70
Упражнение
Методом Ньютона приближенно найти вещественные корни системы:
Исходя из начального приближения
(0) (0)
1, 2 1, 7xy==
32
3
210
40
xy
xy y
−−=
−−=
Решение:
32
3
32
(0)
3
21
F(x)
4
2 1, 2 1,7 1 0,434
F(x )
0,1956
1, 2 1, 7 1, 7 4
xy
xy y
⎛⎞
−−
=
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⋅−
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⋅−
⎝⎠
⎝⎠
r
r
11
2
32
22
2
32
62
F(x)
31
8, 64 3, 4
61,2 21,7
F (1, 2;1,7) 97,91
4,91 9, 4
1, 7 3 1, 2 1, 7 1
ff
xy
xy
ff
yxy
xy
∂∂
∂∂
==
∂∂
∂∂
⋅−
===
⋅⋅
r
1
(1) (0) (0) (0)
1, 2 9,4 4,91 0,434
1
xx F(x)F(x)
1,7 3,4 8,64 0,1956
97,91
1, 2349
1,6610
−−
⎛⎞ ⎛
⎡⎤
=− = =
⎜⎟ ⎜
⎣⎦
⎝⎠ ⎝
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
rr r r
Продолжая этот процесс получим
(2) (2)
1, 2343, 1,6615xy==
Упражнение
Методом Ньютона приближенно найти вещественные корни системы:
Исходя из начального приближения x (0) = 1, 2 y (0) = 1, 7
2 x3 − y 2 − 1 = 0
xy 3 − y − 4 = 0
Решение:
  r ⎛ 2 x − y − 1⎞
            3    2

F(x) = ⎜⎜ 3          ⎟⎟
        ⎝ xy − y − 4 ⎠
   r (0) ⎛ 2 ⋅1, 2 − 1, 7 − 1 ⎞ ⎛ −0, 434 ⎞
                     3        2

F(x ) ⎜⎜=                             ⎟⎟ = ⎜       ⎟
                 ⋅        −       −    ⎠ ⎝ 0,1956 ⎠
                        3
          ⎝ 1, 2   1, 7     1, 7    4
         ∂ f1 ∂ f1
    r    ∂x ∂y                6x2         −2 y
F′(x) =                    = 3
         ∂ f2 ∂ f2              y       3 xy 2 − 1
         ∂x ∂y
                  6 ⋅1, 22        −2 ⋅1, 7            8, 64 −3, 4
F′(1, 2;1, 7) =                                   =                 = 97,91
                   1, 7   3
                              3 ⋅1, 2 ⋅1, 7 − 1
                                         2
                                                      4,91   9, 4

r        r            r         −1 r         ⎛ 1, 2 ⎞   1 ⎛ 9, 4 −4,91⎞ ⎛ −0, 434 ⎞
x (1) = x (0) − ⎡⎣ F′(x (0) ) ⎤⎦ F(x (0) ) = ⎜ ⎟ −          ⎜            ⎟⎜         ⎟=
                                             ⎝ 1, 7 ⎠ 97,91 ⎝ 3, 4 8, 64 ⎠ ⎝ 0,1956 ⎠
   ⎛ 1, 2349 ⎞
=⎜            ⎟
   ⎝ 1, 6610 ⎠
Продолжая этот процесс получим x (2) = 1, 2343, y (2) = 1, 6615




                                                                                         70