ВУЗ:
Составители:
70
Упражнение
Методом Ньютона приближенно найти вещественные корни системы:
Исходя из начального приближения
(0) (0)
1, 2 1, 7xy==
32
3
210
40
xy
xy y
−−=
−−=
Решение:
32
3
32
(0)
3
21
F(x)
4
2 1, 2 1,7 1 0,434
F(x )
0,1956
1, 2 1, 7 1, 7 4
xy
xy y
⎛⎞
−−
=
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎛⎞
⋅−− −
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⋅−−
⎝⎠
⎝⎠
r
r
11
2
32
22
2
32
62
F(x)
31
8, 64 3, 4
61,2 21,7
F (1, 2;1,7) 97,91
4,91 9, 4
1, 7 3 1, 2 1, 7 1
ff
xy
xy
ff
yxy
xy
∂∂
∂∂
−
′
==
∂∂
−
∂∂
−
⋅−⋅
′
===
⋅⋅ −
r
1
(1) (0) (0) (0)
1, 2 9,4 4,91 0,434
1
xx F(x)F(x)
1,7 3,4 8,64 0,1956
97,91
1, 2349
1,6610
−
−−
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
′
⎡⎤
=− = − =
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎣⎦
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
rr r r
Продолжая этот процесс получим
(2) (2)
1, 2343, 1,6615xy==
Упражнение
Методом Ньютона приближенно найти вещественные корни системы:
Исходя из начального приближения x (0) = 1, 2 y (0) = 1, 7
2 x3 − y 2 − 1 = 0
xy 3 − y − 4 = 0
Решение:
r ⎛ 2 x − y − 1⎞
3 2
F(x) = ⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ xy − y − 4 ⎠
r (0) ⎛ 2 ⋅1, 2 − 1, 7 − 1 ⎞ ⎛ −0, 434 ⎞
3 2
F(x ) ⎜⎜= ⎟⎟ = ⎜ ⎟
⋅ − − ⎠ ⎝ 0,1956 ⎠
3
⎝ 1, 2 1, 7 1, 7 4
∂ f1 ∂ f1
r ∂x ∂y 6x2 −2 y
F′(x) = = 3
∂ f2 ∂ f2 y 3 xy 2 − 1
∂x ∂y
6 ⋅1, 22 −2 ⋅1, 7 8, 64 −3, 4
F′(1, 2;1, 7) = = = 97,91
1, 7 3
3 ⋅1, 2 ⋅1, 7 − 1
2
4,91 9, 4
r r r −1 r ⎛ 1, 2 ⎞ 1 ⎛ 9, 4 −4,91⎞ ⎛ −0, 434 ⎞
x (1) = x (0) − ⎡⎣ F′(x (0) ) ⎤⎦ F(x (0) ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟=
⎝ 1, 7 ⎠ 97,91 ⎝ 3, 4 8, 64 ⎠ ⎝ 0,1956 ⎠
⎛ 1, 2349 ⎞
=⎜ ⎟
⎝ 1, 6610 ⎠
Продолжая этот процесс получим x (2) = 1, 2343, y (2) = 1, 6615
70
