ВУЗ:
Составители:
69
1
(1) (0) (0) (0)
31 1
88 8
0,5 0, 25
71 3
xx F(x)F(x)0,5 1,25
20 20 20
0,5 1
11 7 1
40 40 40
0,5 0,375 0,875
0,5 0 0,5
0,5 0,125 0,375
−
⎛⎞
⎜⎟
−
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
′
⎡⎤
=− = − − − =
⎣⎦
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
−
⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
=+ =
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
−
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
rr r r
Далее вычисляем второе приближение
(2)
x
r
. Имеем
22 2
(1) 2 2
222
0,875 0,5 0,375 1
0,15625
F(x ) 2 0,875 0,5 4 0,375 0, 28125
0,4375
3 0,875 4 0,5 0,375
⎛⎞
++ −
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⋅ + −⋅ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⋅−⋅+
⎝⎠
⎝⎠
r
(1)
(1)
222
F (x) 4 2 4
642
2 0,875 2 0,5 2 0,375 1,75 1 0,75
F(x ) 40,875 20,5 4 3,5 1 4
6 0,875 4 2 0,375 5, 25 4 0,75
1,75 1 0,75 1,75 1 0,75
det F (x ) 3,5 1 4 1, 75 0 4,75
5, 25 4 0,75 12
xyz
xy
xz
⎛⎞
⎜⎟
′
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⋅⋅⋅
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
′
=⋅ ⋅ − = −
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⋅−⋅ −
⎝⎠⎝⎠
′
=−=−
−
r
r
r
64,75
,25 0 3,75
=−
Находим обратную матрицу
1
(1)
15, 25 3, 75 4,75
1
F (x ) 23, 625 2,625 9,625
64,75
19,25 12,25 1, 75
−
−−−
⎛⎞
⎜⎟
′
⎡⎤
=− − −
⎣⎦
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
r
Из формулы (5) из лекции, получим второе приближение
1
(2) (1) (1) (1)
0,875 15, 25 3,75 4,75 0,15625
1
x x F (x ) F(x ) 0,5 23, 625 2,625 9,625 0,28125
64,75
0,375 19,25 12,25 1, 75 0, 4375
0,78981
0,49662
0,36993
−
−−−
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
′
⎡⎤
=− = + − − =
⎣⎦
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−−
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
rr r r
Аналогично находятся дальнейшие приближения
()
(3) (3)
0,78521 0,00001
x 0,49662 , F x 0,00004
0,36992 0,00005
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
==
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
rr
Ограничиваясь третьим приближением получим
Ответ: 0,7852, 0,4966, 0,3699xyz===
⎛ 3 1 1 ⎞
⎜ 8 ⎟ ⎛ −0, 25 ⎞
⎛ 0,5 ⎞ ⎜ 8 8
⎟
r r r r ⎜ ⎟ 7 1 3 ⎟⎜ ⎟
= x (0) − ⎡⎣ F′(x (0) ) ⎤⎦ F(x (0) ) = ⎜ 0,5 ⎟ − ⎜
−1
x (1) − ⎜ −1, 25 ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ 0,5 ⎟ ⎜ 20 20 20 ⎜
⎟ −1 ⎟⎠
⎝ ⎠ 11 7 1 ⎟⎝
⎜⎜ − ⎟
⎝ 40 40 40 ⎠
⎛ 0,5 ⎞ ⎛ 0,375 ⎞ ⎛ 0,875 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ 0,5 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0,5 ⎟
⎜ 0,5 ⎟ ⎜ −0,125 ⎟ ⎜ 0,375 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
Далее вычисляем второе приближение x (2) . Имеем
⎛ 0,8752 + 0,52 + 0,3752 − 1 ⎞ ⎛ 0,15625 ⎞
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
F(x (1) ) = ⎜ 2 ⋅ 0,8752 + 0,52 − 4 ⋅ 0,375 ⎟ = ⎜ 0, 28125 ⎟
⎜ 3 ⋅ 0,8752 − 4 ⋅ 0,52 + 0,3752 ⎟ ⎜ 0, 4375 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2x 2 y 2z ⎞
r ⎜ ⎟
F′(x) = ⎜ 4 x 2 y −4 ⎟
⎜ 6 x −4 2 z ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2 ⋅ 0,875 2 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,375 ⎞ ⎛ 1, 75 1 0, 75 ⎞
r (1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
F′(x ) = ⎜ 4 ⋅ 0,875 2 ⋅ 0,5 −4 ⎟ = ⎜ 3,5 1 −4 ⎟
⎜ 6 ⋅ 0,875 −4 2 ⋅ 0,375 ⎟⎠ ⎜⎝ 5, 25 −4 0, 75 ⎟⎠
⎝
1, 75 1 0, 75 1, 75 1 0, 75
r (1)
det F′(x ) = 3,5 1 −4 = 1, 75 0 −4, 75 = −64, 75
5, 25 −4 0, 75 12, 25 0 3, 75
Находим обратную матрицу
⎛ −15, 25 −3, 75 −4, 75 ⎞
r (1) −1 1 ⎜ ⎟
⎡⎣ F′(x ) ⎤⎦ = − ⎜ −23, 625 −2, 625 9, 625 ⎟
64, 75 ⎜ ⎟
⎝ −19, 25 12, 25 −1, 75 ⎠
Из формулы (5) из лекции, получим второе приближение
⎛ 0,875 ⎞ ⎛ −15, 25 −3, 75 −4, 75 ⎞ ⎛ 0,15625 ⎞
r (2) r (1) r (1) −1 r (1) ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟
x = x − ⎡⎣ F′(x ) ⎤⎦ F(x ) = ⎜ 0,5 ⎟ + ⎜ −23, 625 −2, 625 9, 625 ⎟ ⎜ 0, 28125 ⎟ =
⎜ 0,375 ⎟ 64, 75 ⎜ −19, 25 12, 25 −1, 75 ⎟ ⎜ 0, 4375 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 0, 78981 ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ 0, 49662 ⎟
⎜ 0,36993 ⎟
⎝ ⎠
Аналогично находятся дальнейшие приближения
⎛ 0, 78521 ⎞ ⎛ 0, 00001 ⎞
r (3) ⎜ ⎟ r (3) ⎜ ⎟
x = ⎜ 0, 49662 ⎟ , F ( x ) = ⎜ 0, 00004 ⎟
⎜ 0,36992 ⎟ ⎜ 0, 00005 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ограничиваясь третьим приближением получим
Ответ: x = 0, 7852, y = 0, 4966, z = 0,3699
69
