Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 58 стр.

                                            1 f ′′(cn )
                             ξ − xn+1 = − ⋅             ( ξ − xn ) ,
                                                                  2
                                            2 f ′( xn )
откуда и находим следующую оценку
                                           M
                           ξ − xn+1 ≤               ( ξ − xn ) ,
                                                              2
                                                                                     (5)
                                        2 f ′( xn )
где М – наибольшее значение f ′′( x) в рассматриваемой окрестности корня ξ .
Оценка (5) показывает, что при вычислении корня по методу Ньютона погрешность
каждого нового приближения уменьшается пропорционально квадрату погрешности
предыдущего приближения. Таким образом, в тех случаях когда в рассматриваемой
                                            M
окрестности искомого корня величина                 не слишком велика, то сходимость
                                          f ′( xn )
метода достаточно быстрая (каждое новое приближение удваивает число верных
десятичных знаков) и наоборот. Т.о. представление об истинном значении величины
   M
           в каждом конкретном примере можно получить, проанализировав рост числа
 f ′( xn )
верных знаков в 2-х 3-х предыдущих шагах. Если в предыдущих шагах число верных
                                                                                 M
знаков с ростом n примерно удваивалось, то это подтверждает , что величина
                                                                               f ′( xn )
мала и метод Ньютона целесообразно применять.


        2.4 Метод простой итерации
        Применение метода итераций требует предварительного приведения уравнения
f ( x) = 0 к каноническому виду
                                        x = ϕ ( x)                                   (1)
      Область изменения аргумента x на числовой оси назовем X (отрезок числовой
оси). Область значений функции y = ϕ ( x) обозначим Y . Функцию ϕ можно
рассматривать как оператор, преобразующий X в Y.




                                          Рис.1
Построим график обеих частей уравнения (1): для левой части: прямая линия y = x –
биссектриса первого координатного угла, для правой части – некоторая линия с
уравнением y = ϕ ( x) (обозначим буквой l ). Решением уравнения является абсцисса
x * точки М* пересечение l и биссектрисы.
                                                                               58