Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

56
1
1
() ( )
() ( ) ( )
nn
nnn
nn
fx fx
yx fx x x
xx
−
−
−
=+−
−
.
Из условия
1
()0
nn
yx
+
= получаем расчетную формулу
1
1
1
()( )
() ( )
nn n
nn
nn
fx x x
xx
fx fx
−
+
−
−
=−
−
2.2 Метод хорд (метод ложного положения)
Пусть () () 0
f
afb< идея метода состоит в замене кривой ()yfx= хордами,
проходящими через концы отрезков, в которых,
()
f
x имеет противоположные знаки.
В методе хорд требуется , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был
неподвижен. В качестве такого неподвижного конца
0
x
выбирают тот конец отрезка
для которого знак
()
f
x совпадает со знаком ()
f
x
′
′
. Расчетная формула имеет вид
10
0
()
()
() ()
n
nn n
n
fx
xxx
fx fx
+
=− −
−
2.3 Метод Ньютона или метод касательных
Пусть PAQ дуга кривой ()yfx
=
(рис.1), которая пересекает ось Ох в точке
А, так что абсцисса
x
ξ
= точки А есть корень уравнения
() 0
f
x
=
(1)
Допустим, что дуга АР обращена выпуклостью к оси Ох. Проведем через точку
Р с координатами
(
)
00 0
;()
x
yfx= касательную к кривой ()yfx= . Угловой
коэффициент касательной равняется значению производной от функции
()
f
x в точке
касания;
0
()kfx
′
= ; следовательно, уравнение касательной , которая проходит через
точку
00
(, )Px y
будет
00 0
()( )yy fx xx
′
−= ⋅− (2)
Отсюда положив в (2)
00
0, ( )yyfx
=
= , находим точку пересечения
касательной с осью абсцисс (y=0), которую обозначим через
1
x
0
10
0
()
()
f
x
xx
f
x
=−
′
                                                             f ( xn ) − f ( xn−1 )
                           yn ( x) = f ( xn ) + ( x − xn )                         .
                                                                  xn − xn−1
Из условия yn ( xn+1 ) = 0 получаем расчетную формулу

                                                  f ( xn )( xn − xn−1 )
                                   xn+1 = xn −
                                                  f ( xn ) − f ( xn−1 )

      2.2 Метод хорд (метод ложного положения)
      Пусть f ( a ) f (b) < 0 идея метода состоит в замене кривой y = f ( x) хордами,
проходящими через концы отрезков, в которых, f ( x) имеет противоположные знаки.
В методе хорд требуется , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был
неподвижен. В качестве такого неподвижного конца x0 выбирают тот конец отрезка
для которого знак f ( x) совпадает со знаком f ′′( x ) . Расчетная формула имеет вид
                                                      f ( xn )
                                xn+1 = xn −                         ( xn − x0 )
                                                f ( xn ) − f ( x0 )

       2.3 Метод Ньютона или метод касательных
       Пусть PAQ дуга кривой y = f ( x) (рис.1), которая пересекает ось Ох в точке
А, так что абсцисса x = ξ точки А есть корень уравнения
                                              f ( x) = 0                               (1)
     Допустим, что дуга АР обращена выпуклостью к оси Ох. Проведем через точку
Р с координатами ( x0 ; y0 = f ( x0 ) ) касательную к кривой y = f ( x) . Угловой
коэффициент касательной равняется значению производной от функции f ( x) в точке
касания; k = f ′( x0 ) ; следовательно, уравнение касательной , которая проходит через
точку P( x0 , y0 ) будет

                                   y − y0 = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 )                     (2)

       Отсюда положив в (2) y = 0,        y0 = f ( x0 ) , находим точку пересечения
касательной с осью абсцисс (y=0), которую обозначим через x1
                                                 f ( x0 )
                                      x1 = x0 −
                                                f ′( x0 )




                                                                                       56

Страницы