Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 55 стр.

       Искомый корень лежит в интервале: 0,56365 < ξ < 0,56366

2. Итерационные методы вычисления изолированного корня уравнения f ( x) = 0 .
       Введение
       Такие методы предполагают указания какой-либо области D , содержащий
этот единственный корень.
       Если f ( x) – непрерывна, то вещественный корень принадлежит любому
отрезку, на концах которого, функция имеет значения разных знаков. Деля отрезок
пополам получаем универсальный метод вычисления корня (метод бисекции). Этот
подход не требует знания хорошего начального приближения. Если оно имеется, то для
гладких функций используются более эффективные методы.
       Пусть отыскивается единственный на [ a, b ] корень z уравнения f ( x) = 0 в
предположении непрерывности функции f ( x ) .
         Итерационный метод решения порождает последовательность приближений
{ xn } , которая сходится к корню: lim xn − z = 0 . Величину en = xn − z называют
                                       n→∞
абсолютной ошибкой на n -й итерации. Итерационный метод имеет порядок m (или
скорость сходимости m ), если m есть наибольшее положительное число, для
которого существует такая конечная постоянная q > 0 , что
                                                en+1
                                      lim sup        ≤ q < ∞.
                                      n→∞        enm
Постоянную      q называют константой асимптотической ошибки, она обычно
оценивается через производные функции f ( x) в точке x = z . При m = 1 q ∈ ( 0,1)(          )
сходимость называется линейной (метод сходится со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем q ), при 1 < m < 2 – сверхлинейной, при m = 2 –
квадратичной и т.д.
      2.1 Метод секущих
      Если имеется хорошее приближение к корню x = z уравнения
                                          f ( x) = 0 ,                                     (1)

Простейший вариант метода: в процессе итераций фиксируется некоторая точка x0 ,
приближение xn+1 находится как абсцисса точки пересечения прямой проходящей
через точки ( x0 , f ( x0 ) ) и ( xn , f ( xn ) ) с осью x (рис. 1).




                    Рис. 1.                                        Рис. 2.

Обычно более эффективен способ, где за        xn+1 принимается абсцисса точки
пересечения с осью x прямой, проходящей через точки ( xn−1, f ( xn−1 ) ) и ( xn , f ( xn ) ) .
Уравнение этой прямой

                                                                                           55