Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 54 стр.

а более точные значения минимального и максимального действительных корней
равны: x1 = −0,262364; x3 = 1,029626 . Уравнение (***) имеет еще три пары
комплексных корней, хотя на графике нет ни одной точки из рассмотренных в
замечании типов.
       Пример 2. Вычислить положительный корень уравнения.
        f ( x) ≡ x 2 − sin 5 x = 0
с точностью до 0,00001.
       Решение:
       1) отделение корней
       Графическое отделение искомого корня.
       Строим графики функций y = x 2 , y = sin 5 x




                                                                            π
        Из рисунка видно, что положительный корень лежит между 0,5 и          = 0, 628...
                                                                            5
        В качестве исходного отрезка возьмем отрезок [ 0,5; 0, 6] , для чего прежде всего
проверяем знаки на концах отрезка
       f (0,5) = 0, 25 − sin 2,5 = 0, 25 − 0, 6 < 0
       f (0, 6) = 0,36 − sin 3, 0 = 0,36 − 0,14 > 0
        Т.е. по теореме 1 (занятие 15) на [ 0,5; 0, 6] имеется хотя бы один действ. корень.
       Далее проверяем сохранение знака у производных
        f ′( x) = 2 x − 5cos 5 x > 0 при 0,5 < x < 0, 6
        f ′′( x) = 2 + 25sin 5 x > 0 при 0,5 < x < 0, 6
       Т. е. точек минимума и максимума и перегиба на этом отрезке нет
       2) уточнение корней – можно применить метод деления отрезка пополам.
       Отделение корня ξ , т.е установление двойного неравенства a < ξ < b уже дает
возможность получить его грубое приближенное значение, в качестве которого можно
взять центр интервала ( a, b ) :
                                             a+b
                                                ξ1 =
                                                  .
                                               2
       При этом абсолютная погрешность будет меньше числа
                                             a −b
                                         ε<       .
                                               2
       Подставив найденное ξ1 в уравнение (1) и убедившись, что оно не обеспечивает
требуемую точность, принимаем f (ξ1 ) = a1 или f (ξ 2 ) = b1 и в результате приходим к
одному из следующих, более точных неравенств:
                                 a1 < ξ < b или a < ξ < b1 ,
так что продолжая этот процесс, можем произвести уточнение корня с любой наперед
заданной степенью точности. (Метод деления отрезка пополам).

                                                                                         54