Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 53 стр.

найденных корней окажутся близкие, то их можно принять в качестве приближенных
корней заданного трансцендентного уравнения
      Однако существуют другие, более эффективные методы уточнения корней.

      Пример 1. Исследовать уравнение

                       2 x9 + x 7 − x 4 + 19 x3 − 24 x 2 + 2 = 0 .             (*)
      Решение: Уравнение имеет нечетное число действительных корней, но не
больше девяти. Число перемен знаков в ряду его коэффициентов равно четырем,
поэтому согласно теореме Декарта положительных корней может быть четыре, два или
ни одного.
      Выполнив замену x = − y и поменяв знаки на обратные, получаем

                      2 y 9 + y 7 + y 4 + 19 y 3 + 24 y 2 − 2 = 0 ,           (**)
поэтому в исходном уравнении (*) есть только один отрицательный корень.
      Границы действительных чисел найдем, воспользовавшись неравенством (5).
Для исходного уравнения        (*), учтя, что a1 = a3 = a4 = 0, a5 = −1 , имеем
m = 5 ; A = 24 ; a0 = 2 , следовательно, все его положительные корни удовлетворяют
неравенству
                                          24
                               x <1+ 5       = 1 + 5 12 ≈ 2,6
                                           2
      Аналогично для преобразованного уравнения (**), у которого знак изменяет
только свободный член a9 = −2 , получаем
                                                  2
                                       y <1+ 9      = 2,
                                                  2
откуда x = − y > −2 . Таким образом, корни исходного уравнения лежат в интервале
−2 < x < 2,6
      Результаты проведенного исследования легко проверить непосредственно,
построив график рассматриваемого полинома (**) (см. рис.2).




                                             Рис. 2.


                   y = P( x) = 2 x9 + x 7 − x 4 + 19 x3 − 24 x 2 + 2 ,       (***)

                                                                               53