Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 52 стр.

       Эти особенности (или условия) не принадлежат к необходимым условиям, а
являются только достаточными, т.е. график может не иметь ни одной точки из
рассматриваемых типов, а уравнение может иметь несколько пар комплексных корней
(см. пример 1 из практич. занятия).
       После того как исследование уравнения (1) закончено и для каждого
действительного корня ξ установлен интервал в котором этот корень находится,
переходим к решению второй задачи – к уточнению найденных корней.
       Отделение корня ξ , т.е установление двойного неравенства a < ξ < b уже дает
возможность получить его грубое приближенное значение, в качестве которого можно
взять центр интервала ( a, b ) :
                                                      a+b
                                               ξ1 =       .
                                                       2
      При этом абсолютная погрешность будет меньше числа
                                                      a −b
                                               ε<          .
                                                        2
       Подставив найденное ξ1 в уравнение (1) и убедившись, что оно не обеспечивает
требуемую точность, принимаем f (ξ1 ) = a1 или f (ξ 2 ) = b1 и в результате приходим к
одному из следующих, более точных неравенств:
                               a1 < ξ < b или a < ξ < b1 ,
так что продолжая этот процесс, можем произвести уточнение корня с любой наперед
заданной степенью точности. (Метод деления отрезка пополам).

Теория алгебраических уравнений разработана значительно полнее уравнений
трансцендентных. Поэтому последние часто пытаются свести к уравнениям
алгебраическим. В частности это можно сделать, разложив левую часть заданного
трансцендентного уравнения f ( x) = 0 в степенной ряд

                       f ( x) = c0 + c1x + c2 x 2 + ... + cn x n + ...,
                                     1 (k )                                        (*)
                       где ck =         f (0); k = 0,1,2,...
                                     k!
      Рассмотрим последовательность алгебраических уравнений, получающихся,
если приравнять нулю частичные суммы ряда (*):
                           c0 + c1x = 0;
                           c0 + c1x + c2 x 2 = 0;
                                                                                  (**)
                           ..................................
                           c0 + c1x + c2 x 2 + ... + cn x n = 0.
      Пусть ξ1 – корень первого из этих уравнений, ξ 2 – один из корней второго
уравнения, ξ n – один из корней n-го уравнения. Тогда имеет место следующая теорема
      Теорема 3.   Если последовательность ξ1, ξ 2 ,..., ξ n сходится и предел этой
     последовательности ξ принадлежит области, в которой ряд (*) сходится к
     функции f (ξ ) , то число ξ является корнем уравнения f ( x) = 0 .
     Из этой теоремы следует, что вместо трансцендентного уравнения f ( x) = 0
можно попытаться решить несколько уравнений последовательности (**). Если среди


                                                                                   52