Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 51 стр.

       Алгебраическое уравнение n -й степени (2) всегда имеет точно n корней
(действительных или комплексных), что вытекает из
       Теорема Гаусса. Полином степени n имеет точно n действительных корней
или комплексных корней, если каждый k -кратный корень считать k раз.
       Теорема Безу. Остаток от деления полинома Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а),
т.е. значению этого полинома при x=a.
       (теорема Безу справедлива и в комплексной области). В частности, если все
коэффициенты полинома Р(х) – действительные числа, то корни уравнения Р(х)=0
могут быть только действительными или комплексно сопряженными. Число
действительных корней алгебраического уравнения (2) с действительными
коэффициентами равно или на четное число меньше степени уравнения.
       Теорема Декарта. Число положительных корней равно (или на четное число
меньше) числу перемен знака в ряду коэффициентов уравнения..
       Если в уравнении (2) a0 > 0 (этого всегда можно достичь, поменяв при
отрицательном a0 все знаки в левой части уравнения), то его действительные корни
удовлетворяют неравенству Маклорена, определяющему верхнюю границу корней:

                                             A
                                   x <1+ m      ,                              (5)
                                             a0
где m – индекс первого отрицательного коэффициента в ряду a0 , a1 ,..., an ; А –
максимальный из модулей отрицательных коэффициентов.
       Эта же оценка позволяет установить и нижнюю границу корней. Для этого
                                                                       n
следует сделать замену x = − y и умножить полученное уравнение на ( −1) , для того
чтобы старший коэффициент остался положительным, после чего снова
воспользоваться формулой (5).
      Замечание:
      При исследовании алгебраических уравнений следует иметь в виду следующую
их особенность. Наличие на графике полинома Y = P ( x ) каждого минимума, при
котором P ( x ) положительно, и каждого максимума с отрицательным значением
P( x) свидетельствует о наличии у этого полинома пары комплексных корней.
      Так полином, график которого изображен на рис.1, имеет по крайней мере, три
пары комплексных корней, о чем свидетельствует форма графика полинома в
окрестности точек А, В, С.




                                         Рис. 1.



                                                                               51