Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 50 стр.

       Задача решения уравнения (1) совпадает с задачей определения корней (или
нулей) функции f ( x ) .
       Число x = ξ называется корнем функции f ( x ) , если f (ξ ) ≡ 0 . Число ξ корнем
k-й кратности, если при x = ξ вместе с функцией обращаются в нуль и все
производные до k-1 порядка включительно. Если k=1, корень называют простым.
       При определении приближенных значений корней уравнения (1) необходимо
решить две задачи:
    1) отделение корней, т.е. определение достаточно малых промежутков в каждом из
которых заключен один и только один корень уравнения (простой или кратный).
    2) уточнение корней с наперед заданным числом верных знаков.
       При условии f ′(ξ ) ≠ 0 задача отделения корня x = ξ всегда возможна.
Отделение корней можно производить графически и аналитически.
       При графическом отделении корней уравнение (1) надо преобразовать к виду
                                       ϕ1 ( x) = ϕ2 ( x)                            (3)
и построить графики функций
                                y1 = ϕ1 ( x);      y2 = ϕ 2 ( x )                   (4)
       Корнями уравнения (1)
                                     f ( x) = ϕ1 ( x) − ϕ2 ( x) = 0
являются абсциссы точек пересечения этих графиков
       Если ϕ 2 ( x) = 0 , то искомые корни уравнения (1) есть точки пересечения
графика функции y = f ( x) с осью абсцисс.
       В общем случае при построении графиков (4) следует выявить прежде всего
поведение каждой из функций ϕ1 ( x) и ϕ 2 ( x) при x → −∞, x → +∞ , найти
значения x при которых обычно проще всего вычисляются значения любой функции.
Полезно также, если это не требует значительных вычислений, определить (можно
грубо) точки минимума и максимума функций (4).
       Из аналитических методов отделения корней укажем только два общих метода
пригодных как для алгебраических так и для трансцендентных уравнений. Один из них
– нахождение более простого уравнения, которое имеет корни, приблизительно равные
искомым корням данного уравнения. Это можно сделать пренебрегая в данном
уравнении малыми членами. При втором методе используются следующие теоремы,
непосредственно вытекающие из свойств непрерывных функций.
       Теорема 1. Если функция действительного аргумента f ( x) непрерывна на
сегменте [ a, b ] и на его концах значения f ( a ) и f (b) имеют противоположные
знаки, то между точками a и b имеется хотя бы один действительный корень
уравнения f ( x) = 0 .
       Если при этом f ( x ) имеет первую производную, не меняющую знака на [ a, b ] ,
т.е. если f ( x) на [ a, b ] меняется монотонно, то корень единственный.
       Теорема 2.      Пусть f ( x ) есть аналитическая функция переменного x на
сегменте [ a, b ] ; если на концах [ a, b ] она принимает значения разных знаков, то
между точками a и b имеется нечетное число корней уравнения f ( x) = 0 ; если же
на концах [ a, b ] она принимает значения одинаковых знаков, то между точками a и
b или нет действительных корней, или имеется четное их число (учитывая и
кратность) .
       (Число корней у трансцендентного уравнения может быть произвольным)

                                                                                    50