Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 57 стр.

                                                 Рис. 1.
      Через точку P1 ( x1; y1 = f ( x1 ) ) снова проводим касательную и, продолжая этот
процесс, приходим к формуле Ньютона
                                          f ( xn )
                           xn+1 = xn −              ; n = 0,1,2,...,                       (3)
                                          f ′( xn )
        Значения x0 , x1, x2 ,... , вычисленные по      формуле     (3),  образуют
последовательность , которая стремится к значению корня уравнения (1).
        Если мы начнем процесс, исходя из точки Q , в которой кривая обращена к оси
Ох вогнутостью, то первый же шаг приведет на другую сторону от оси Ох, где кривая
обращена к ней выпуклостью, так что в дальнейшем будем приближаться к значению
корня так же , как и прежде
        В тех случаях, когда вычисление второй производной для функции f ( x ) не
ведет к существенным усложнениям, можно указать критерий , который поможет
проверить правильность выбора начального значения x0 . Действительно, т.к. кривая
 y = f ( x) обращена выпуклостью к оси Ох в тех случаях для которых выполняется
соотношение
                                      f ( x) ⋅ f ′′( x) > 0                                (4)

      то этому условию и должно удовлетворять выбранное значение x0 .
      Установим связь между погрешностями n-го и n+1 шага. Согласно формуле
Тейлора имеем
                                                                1
                     f (ξ ) = f ( xn ) + f ′( xn )(ξ − xn ) +     f ′′(cn )(ξ − xn ) 2 ,
                                                                2
где точка cn лежит между xn и ξ .
       Т.к. f (ξ ) = 0 , то отсюда получаем
                                       f ( xn )    1 f ′′(cn )
                           ξ − xn +              =− ⋅          ( ξ − xn ) ,
                                                                         2
                                       f ′( xn )   2 f ′( xn )
но согласно формуле (3)
                                                f ( xn )
                                         xn −             = xn+1 .
                                                f ′( xn )
       Следовательно,


                                                                                           57