Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 63 стр.

        где М – наибольшее из чисел q1 , q2 , входящих в неравенства (4) или (4’).
                                                                      M
Сходимость метода итераций считается хорошей, если М<1/2, при этом        < 1 , так
                                                                     1− M
что если в двух последовательных приближениях совпадают, например, первые три
десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит
0,001. (См. на практике пример 1)

      Построение итерирующих функций для системы (1)
       Для преобразования системы (1) к виду (2) с соблюдением условия (4)
используем следующий прием.
      Положим
                     ϕ1 ( x, y ) = x + α F1 ( x, y ) + β F2 ( x, y ),
                   ϕ 2 ( x, y ) = y + γ F1 ( x, y ) + δ F2 ( x, y ) (αδ ≠ βγ ) .
      Коэффициенты α , β , γ , δ найдем как приближенные решения следующей
системы уравнений:
                               ⎧      ∂ F1 ( x0 , y0 )     ∂ F2 ( x0 , y0 )
                               ⎪1 + α        ∂x
                                                       +β
                                                                  ∂x
                                                                            = 0,
                               ⎪
                               ⎪ ∂ F1 ( x0 , y0 )       ∂ F2 ( x0 , y0 )
                               ⎪α      ∂y
                                                   +β
                                                             ∂y
                                                                         = 0,
                               ⎪
                               ⎨                                                                     (5)
                               ⎪γ ∂ F1 ( x0 , y0 ) + δ ∂ F2 ( x0 , y0 ) = 0,
                               ⎪       ∂x                   ∂x
                               ⎪
                               ⎪1 + γ ∂ F1 ( x0 , y0 ) + δ ∂ F2 ( x0 , y0 ) = 0.
                               ⎪⎩           ∂y                   ∂y
      При таком выборе параметров условие (4) будет соблюдено, если только
частные производные функций F1 ( x, y ), F2 ( x, y ) изменяются не очень быстро в
окрестности ( x0 , y0 ) . (См. пример 2)

        Пример 1.
        Найти положительные корни с тремя верными знаками для системы:
                                    x 3 + y 3 − 6 x + 3 = 0,
                                               x 3 − y 3 − 6 y + 2 = 0.
      Решение:
      Для применения метода итерации запишем данную систему в таком виде:
                                        x3 + y3 1
                                x=                + ≡ ϕ 1( x , y ),
                                             6     2
                                        x −y
                                           3    3
                                                   1
                                 y=               + ≡ ϕ 2 ( x , y ),
                                             6     3
      Рассмотрим квадрат 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 . Если точка ( x 0 , y 0 ) находится в этом
квадрате, то имеем
                        0 < ϕ 1( x 0 , y 0 ) < 1 и 0 < ϕ 2 ( x 0 , y 0 ) < 1 .
            Так как 0 < ( x 03 + y 03 ) 6 < 1 3 , − 1 6 < ( x 03 − y 03 ) 6 < 1 6 , то при любом выборе
точки ( x 0 , y 0 ) последовательность ( x k , y k ) остается в квадрате. Более того, точки
( x k , y k ) остаются в прямоугольнике 1/2