ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
50
1.9. О ВЗАИМОСВЯЗИ СХЕМНОГО И МАТРИЧНОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
В ходе обсуждения схемного подхода к анализу электрических цепей,
изложенного в предыдущих разделах пособия, нередко возникают споры о
целесообразности использования понятия определителя схемы или схемного
определителя. При этом понятие «определитель схемы» воспринимается как
вольное и краткое именование определителя матрицы узловых проводимостей
или какой-либо другой матрицы электрической схемы. Ниже приводятся
дополнительные доводы в пользу утвердительного ответа на вопрос о
придании понятиям «схемный определитель» и «схемный минор»
терминологического статуса.
Начала теории определителей, истоки которой восходят к работе
Готфрида Лейбница 1693 года, содержат некоторое методическое
противоречие. С одной стороны, определитель матрицы в виде суммы
отдельных слагаемых можно найти без использования порядковой нумерации
строк и столбцов, применив для этого, например, буквенные обозначения.
С другой стороны, желая получить компактное (вложенное) выражение
определителя с помощью разложения Лапласа по строке (столбцу) или
нескольким строкам (столбцам), приходится использовать понятие
алгебраического дополнения, которое отличается от соответствующего минора
матрицы знаком, учитывающим порядковые номера строк и столбцов [23].
Для матриц высокой размерности индуктивное построение определителя
оказывается предпочтительным или единственно возможным. Разложение
определителя матрицы A по некоторому элементу a
ij
(выделение элемента a
ij
)
имеет вид
∆ = (–1)
i+j
a
ij
∆
ij
+ ∆(a
ij
=0), (1.9.1)
где ∆
ij
– минор, то есть определитель матрицы, образованной из матрицы A
путем вычеркивания строки i и столбца j; ∆(a
ij
=0) – определитель матрицы,
полученной из матрицы A в результате удаления элемента a
ij
. Формула (1.9.1)
применяется к определителям ∆
ij
и ∆(a
ij
=0) рекурсивно до получения матриц
первого порядка и вырожденных матриц.
Теорема Лапласа в ее общем или специальных случаях довольно широко
используется при аналитическом решении систем линейных алгебраических
уравнений и формировании символьных схемных функций электрических
цепей [17, 24, 25]. При этом нахождение знака требует существенной доли в
затратах времени на разложение определителей. Это связано не только и не
сколько с наличием дополнительных операций сложения, а прежде всего, с
необходимостью перенумерации строк и столбцов в результате выделения
элементов матриц.
Алгебраическое правило нахождения знака (см. формулу (1.9.1)),
возможно, обладает наглядностью при раскрытии определителей вручную.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
