ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
79
где
a
ik,jm
– параметр, входящий в четыре позиции матрицы (два раза с
положительным знаком и два раза с отрицательным);
∆
(i+k)(j+m)
(i
→
j) –
суммарный минор [41], то есть определитель матрицы, образованной из
первоначальной матрицы в результате следующих преобразований: 1)
добавления строки
i к строке k и столбца j к столбцу m; 2) вычеркивания строки
i и столбца j; 3) замены номера i на номер j в обозначениях строк и столбцов
полученной матрицы.
Можно предложить другой вариант формулы разложения матричных
определителей, когда вычисление знака откладывается до последнего уровня
вложенности скобочного выражения, как это имеет место в формуле (1.6.1).
Чтобы получить формулу, аналогичную формуле (1.6.1), для разложения
матричного определителя, введем понятие
неудаляемого элемента матрицы.
Появление неудаляемого элемента в позиции (
i, j) матрицы на
пересечении строки
i и столбца j влечет обнуление этих строки и столбца, а
также вычеркивание других параметров в позиции (
i, j), в которой должен
остаться только этот элемент. Численные значения неудаляемых элементов
матрицы принимаются равными единице. С учетом сказанного формулы
(1.11.1) или (1.11.2) приводятся к виду
∆ = a
ij
∆(a
ij
⇒НЭМ) + ∆(a
ij
=0), (1.11.5)
где
∆( a
ij
⇒НЭМ) – определитель первоначальной матрицы, в которой элементу
a
ij
придан статус неудаляемого элемента матрицы.
В результате рекурсивного применения формулы (1.11.5) получаются так
называемые элементарные матрицы, соответствующие элементарным активным
схемам из НУИ [51] в формуле (1.6.1) и содержащие исключительно
неудаляемые элементы. Для вычисления определителя элементарной матрицы,
равного 1 или –1, можно использовать либо традиционное алгебраическое
правило знаков (установление четности или нечетности числа инверсий в
подстановке из номеров строк и столбцов) [1, 2, 37, 41, 55], либо предложенное
выше топологическое правило (см. формулу (1.11.2) и пример 1).
Ниже рассмотрено решение предыдущего примера с помощью формулы
(1.11.5). Неудаляемые элементы обозначаются номерами соответствующих
строки и столбца матрицы.
Пример 2.
a
11
b
12
c
13 11 12 13
det d
21
e
22
f
23
= a det e
22
f
23
+
b det d
21
f
23
+ c det d
21
e
22
=
g
31
h
32
i
33
h
32
i
33
g
31
i
33
g
31
h
32
11
11
=
a(e
det
22
+ f det
23
) +
i
33
h
32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
